INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Introducción
En los capítulos anteriores hemos presentado diversas técnicas estadísticas para recoger, clasificar, representar y resumir un conjunto de datos con el único propósito de describirlo. Si pretendemos utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales, dichas técnicas estadísticas son el principio de los análisis que tendríamos que realizar. Para obtener conclusiones o hacer inferencias, hacer predicciones sobre una población a través de un conjunto de observaciones representativo, seleccionado de la población, utilizaremos métodos de inferencia estadística. La Teoría de la Probabilidad es la base de la Inferencia Estadística.
Hay muchas situaciones que aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas, los resultados observados son diferentes. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz, al lanzar un dado unas veces resultará una cara y otras veces otra. Estos fenómenos, reciben el nombre de aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. Habitualmente utilizamos frases como: “lo más probable es que hoy llueva”, “la probabilidad de que hoy llueva es del 90%”, “probablemente…”, “es poco probable que…”, “hay muchas posibilidades de que hoy llueva”, “hay un 20% de posibilidad de que hoy llueva”. Estas frases hacen referencia a esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad es una herramienta que modeliza y trata con situaciones de este tipo. Por otra parte, como hemos dicho anteriormente, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, clasificación, representación, resumen, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. La probabilidad es una herramienta, es el nexo entre la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial (Figura 4.1).
La probabilidad desempeña un papel muy importante dentro de la estadística, el objetivo de este capítulo es familiarizarse con sus elementos básicos.
Experimentos y sucesos aleatorios
Experimento determinístico y aleatorio
Consideremos los experimentos dados en los siguientes enunciados:
1. Lanzar una moneda y anotar la cara superior.
2. Extraer una carta de una baraja.
3. Arrojar un objeto al vacío y medir su aceleración.
4. Hallar el número de piezas defectuosas entre 20 elegidas al azar.
En estos experimentos, como en otros muchos ejemplos, hay unos cuyos resultados se pueden predecir de antemano y otros no.
Por ejemplo, si consideramos el experimento que consiste en arrojar un objeto al vacío, se comprueba que repitiendo dicho experimento en idénticas condiciones siempre se va a obtener el mismo resultado. El objeto cae al suelo con una aceleración de 9.8 m/s².
En cambio, si consideramos cualesquiera de los otros ejemplos, lanzar una moneda, extraer una carta, hallar el número de piezas defectuosas …, aunque se repitan en análogas condiciones nunca se puede predecir el resultado.
Experimento determinístico
Un experimento o fenómeno recibe el nombre de Determinístico o Causal si, al repetir el experimento en idénticas condiciones, siempre presenta el mismo resultado. En estos fenómenos es posible saber el resultado final si se conocen el estado inicial y las condiciones de realización. Por ejemplo: Un capital a un tipo de rédito fijo durante un tiempo determinado, siempre produce los mismos intereses.
Experimento aleatorio
Un experimento o fenómeno recibe el nombre de Aleatorio cuando al repetirlo en idénticas condiciones puede presentar resultados distintos en cada realización. Los resultados son conocidos por anticipado pero no se puede predecir el resultado en cada experiencia en particular. Por ejemplo: Lanzamiento de una moneda, extracción de una carta de una baraja, número premiado en la lotería etc.
Prueba
Una observación particular de un experimento aleatorio recibe el nombre de Prueba de dicho experimento (A veces se le llama al propio experimento).
Espacio muestral
Llamamos Espacio Muestral de un experimento aleatorio, y se denota por E, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento.
Ejemplo 4.1: Consideremos el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado. El espacio muestral es: \( E=\{1,2,3,4,5,6 \} \)
Sucesos aleatorios
Suceso elemental
Recibe el nombre de Suceso Elemental cada uno de los resultados de un experimento aleatorio indescomponibles en otros más simples. Es el formado por un solo elemento. En el Ejemplo 4.1, los sucesos elementales son: \( \{1\} \), \( \{2\} \) , \( \{3\} \), \(\{4\} \), \( \{5\} \) y \( \{6 \} \).
Suceso Compuesto
Llamamos Suceso Compuesto o Suceso a todo subconjunto del espacio muestral E o conjunto de sucesos elementales. Es el suceso formado por dos o más elementos. En el Ejemplo 4.1 sucesos son: “sacar un número par”, o “sacar impar” o sacar \( \{2,5,6 \} \) ….
Se dice que ha ocurrido un suceso si los resultados del experimento aleatorio incluyen a algunos de los resultados que definen al suceso. En este contexto, destacamos dos sucesos especiales:
– El Suceso seguro es el suceso que se verifica siempre, por lo tanto se corresponde con el propio espacio muestral E
– El Suceso imposible es el suceso que no se verifica nunca, no contiene ningún suceso elemental. Se representa por el conjunto \( \emptyset \).
- Diremos que el suceso \( A \) implica el suceso \( A \), y se denota \( A \subseteq B \) , si siempre que se verifica \( A \), se verifica \( A \).
Sucesos iguales
Dados dos sucesos, \( A \) y \( B \), pertenecientes al espacio muestral \( E \) se dicen que son iguales si se verifica que \( A \subseteq B \) y \( B \subseteq A \) y recíprocamente
\( A=B \Longleftrightarrow A\subseteq B \hspace{.1cm} \) y \( \hspace{.1cm} B \subseteq A \)
En el Ejemplo 4.1, los sucesos \( A \)={sacar par} y \( B = \left \{2,4,6 \right \} \) son sucesos iguales.
- Suceso diferencia: Dados tres sucesos \( A \), \( B \) y \( C \) pertenecientes al espacio muestral \( E \), llamamos Suceso Diferencia de los sucesos \( A \) y \( B \), y se denota por \( A-B \) , a otro suceso \( C \) que contiene todos los sucesos elementales de \( A \) que no son sucesos de \( B \). En el Ejemplo 4.1, si \( A= \left \{1,3,5,6 \right\} \) y \( B= \left\{3,4,6 \right\}\) entonces \( A-B= \left\{1,5 \right\}\) .
- Suceso complementario de un suceso. Se define el Suceso Complementario o Contrario del suceso \( A \), y se denota por \( \bar{A} \) o \(A^{c} \), como el suceso que se realiza cuando no se verifica \( A \). Está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no pertenecen a \( A \). Es decir, \( A=E-A \). En el Ejemplo 4.1, si \( A= \left \{1,3,5,6 \right \} \) entonces \( \bar{A}= \left \{2,4 \right \}\).
Operaciones con sucesos
Unión de dos sucesos
Llamamos Unión de dos Sucesos \( A \) y \( B \), y se denota por \( A \cup B \) , a otro suceso \( C \) que está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a \( A \) o pertenecen a \( B \). En el Ejemplo 4.1, si \( A= \left \{1,3,5,6 \right \} \) y \( B= \left \{3,4,6 \right \}\) entonces \( A \cup B= \left \{1,3,4,5,6 \right\} \) .
Es inmediato comprobar que la Unión de sucesos verifica las siguientes propiedades:
- Asociativa: \( A \cup ( B \cup C ) = (A \cup B ) \cup C \)
- Conmutativa: \( A \cup B=B \cup A \)
- Idempotencia: \( A \cup A=A \)
Intersección de dos sucesos
Llamamos Intersección de dos Sucesos \( A \) y \( B \), y se denota por \( A \cap B \), a otro suceso \( C \) que está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a \( A \) y pertenecen a \( B \). En el Ejemplo 4.1, si \( A= \left \{1,3,5,6 \right \} \) y \( B= \left \{3,4,6 \right \} \) entonces \( A \cap B= \left \{3,6 \right \} \).
Se comprueba fácilmente que la Intersección de sucesos verifica las propiedades:
- Asociativa: \( A \cap ( B \cap C ) = (A \cap B ) \cap C \)
- Conmutativa: \( A \cap B=B \cap A \)
- Idempotencia: \( A \cap A=A \)
Considerando conjuntamente las operaciones Unión e Intersección de Sucesos se verifican las siguientes propiedades: - Distributiva:
\( A \cup ( B \cap C ) = (A \cup B ) \cap (A \cup C ) \hspace{.3cm} \) y \( \hspace{.3cm} A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C) \)
- Simplificativa: \( A \cup (B \cap A)=A \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} A \cap (B \cup A)=A \)
Sucesos incompatibles
Dos sucesos \( A \) y \( B \) son Incompatibles (también llamados Mutuamente Excluyentes) si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir cuando \( A \cap B \) nunca se verifica, por tanto \( A \cap B= \emptyset \) . En caso contrario se dice que son Compatibles
Si \( A \) y \( B \) son incompatibles \( \Rightarrow A \cap B=\emptyset \)
Así, los sucesos \( A \) y \( \bar{A} \) son incompatibles.
Por ejemplo, consideremos los dos sucesos, A: “El paciente X se recupera de una intervención quirúrjica”; B: “El paciente X fallece durante la intervención quirúrjica”. Evidentemente si se produce uno de estos sucesos excluye el hecho de que se produzca el otro.
Nota: Los sucesos \( A \), \( B \) y \( C \) son incompatibles cuando \( A \cap B= \emptyset \) , \( A \cap C=\emptyset \) , \( B \cap C=\emptyset \) y \( A \cap B \cap C=\emptyset \)
El conjunto formado por todos los sucesos de un espacio muestral E junto con las operaciones de unión e intersección constituyen una determinada estructura que no entramos en especificar. Nos interesa la idea de estructura como una clase de sucesos o subconjuntos de E formada por todos los sucesos y por sus uniones finitas e infinitas. Denotemos a esa clase por \( \beta \).
Además de las propiedades anteriores también son interesantes las llamadas Leyes de Morgan,
\( \overline {A \cap B} = \overline{A} \cup \overline {B} \hspace{.2cm} \); \( \hspace{.2cm} \overline {A \cup B} = \overline{A} \cap \overline {B} \hspace{.2cm} \) ; \( \hspace{.2cm} \overline { \overline{A}}=A \)
Concepto de probabilidad
La Teoría de la Probabilidad tiene su origen en la Teoría matemática de los juegos de azar (siglo XVII). En 1650 el caballero De Meré, jugador de cartas, dados…, consultó ciertas cuestiones relacionadas con el juego al matemático Blaise Pascal, iniciándose a partir de este momento una correspondencia sobre este tema entre Pascal y otros matemáticos. De esta correspondencia surgió la Teoría de la Probabilidad.
El desarrollo inicial de la probabilidad se asocia con los juegos de azar, en dichos juegos cada jugada debe dar un resultado de entre un número de ellos. Por ejemplo, considérese el experimento del lanzamiento de un dado en el que siempre se obtiene una cara entre las seis posibles pero, suponiendo que el dado no está cargado, no es posible predecir el resultado de una determinada jugada. Cuando el experimento se lleva a cabo un número suficientemente grande de veces las frecuencias relativas de un suceso tienden a estabilizarse, siendo las fluctuaciones cada vez más pequeñas a medida que el número de pruebas crece indefinidamente y los seis resultados son igualmente de probables (equipro-bables) puesto que las frecuencias relativas son prácticamente las mismas. El número hacia el cual se estabilizan las frecuencias relativas recibe el nombre de Probabilidad y en este caso la probabilidad de obtener cualquiera de las caras del dado es 1/6.
Definición Frecuentista de probabilidad
La probabilidad es el cociente entre la frecuencia observada del suceso y el total de observaciones cuando el experimento se realiza un número grande de veces.
El enfoque frecuentista de la probabilidad se caracteriza en que excluye sucesos que no se pueden repetir (Los sucesos se pueden repetir un número grande de veces en condiciones similares).
El inconveniente de esta definición es que para obtener la probabilidad de un suceso es necesario realizar un gran número de pruebas del experimento y de esta forma obtener experimentalmente el número hacia el cual se aproximan las frecuencias relativas pero no conoceríamos el valor exacto de la probabilidad, sino un valor aproximado.
Siguiendo con el ejemplo del lanzamiento de un dado, cada vez que se lanza el dado se obtiene un resultado entre los seis posibles. El número total de casos recibe el nombre de Casos Posibles, entre todos los casos habrá un número de ellos que sean favorables para el “jugador” estos casos reciben el nombre de Casos Favorables. Así, en este ejemplo, el número de casos posibles es 6 y el número de casos favorables, de salir cualquiera de las caras, es 1. El cociente entre los Casos Favorables y los Casos Posibles recibe el nombre de Probabilidad.
Definición Clásica de probabilidad: Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de Casos Favorables a ese suceso y el número de Casos Posibles del experimento. Suponiendo todos los casos equiprobables
\( P(A) = \displaystyle \frac{nº \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} casos \hspace{.1cm} favorables \hspace{.1cm} del \hspace{.1cm} suceso \hspace{.1cm} A}{nº \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} casos \hspace{.1cm} posibles \hspace{.1cm} del \hspace{.1cm} experimento } = \displaystyle \frac{CF}{CP} \)
Ejemplo 4.2: En el lanzamiento de un dado, determinar la probabilidad de: a) Obtener un 6; b) Obtener un número par; c) Obtener un número mayor que 2
Respuesta: \( CP: \{1,2,3,4,5,6 \} \)
a) \( CF:\{6 \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(6)=1/6 \)
b) \( CF: \{2,4,6 \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(par)=3/6 \)
c) \( CF: \{3,4,5,6 \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(mayor \hspace{.1cm} que\hspace{.1cm} 2)=4/6 \)
Ejemplo 4.3: Una mujer tiene dos hijos, calcular las siguientes probabilidades: a) los dos sean chicos; b) que sean de sexo distinto.
Respuesta: El espacio muestral es: \( E: \{MM,MH,HM,HH \} \), donde M: “Suceso de ser mujer” ; H: “Suceso de ser hombre”
a) \( CF: \{HH\} \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} P(HH)=1/4 \)
b) \( CF: \{MH,HM \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(MH,HM)=2/4 \)
Definición Axiomática de probabilidad: Axiomas de Kolmogorov
Sea \( E \) un espacio muestral y \( \beta \) una clase de subconjuntos del espacio muestral \(E \). Se define una Probabilidad sobre \( (E, \beta) \) como una aplicación \( P \) de \( (E, \beta) \) en los números reales, \( R \),
\( \begin{array} {c} P : (E, \beta) \rightarrow R \\
A \in \beta \rightarrow P(A) \\ \end{array} \)
de forma que a cada suceso \( A \) de \( \beta \) le hace corresponder un número real \( P(A) \) , que recibe el nombre de Probabilidad del Suceso \( A \) . Esta aplicación \( P \) verifica los siguientes axiomas
Nota: Un axioma es una “verdad evidente” que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma.
Ax1: \( P(A) \geq 0 \) . Para todo suceso \( A \in \beta \)
Ax2: \( P(E)=1 \)
Ax3: Si \( A_1, A_2, ⋯, A_{i}, ⋯ \) son sucesos incompatibles dos a dos, es decir \( A_{i} \cap A_{j}=0 \) , para todo \( i \neq j \) , entonces
\( P ( \displaystyle \cup_{i=1}^{\infty} A_{i}) = P (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_{i} \cup \ldots )=P (A_1) + \ldots + P (A_{i})+ \ldots = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}P (A_{i}) \)
Cuando el número de sucesos elementales es finito el tercer axioma se convierte en:
Si \( A_1, A_2, \ldots, A_{n} \) son sucesos incompatibles dos a dos, es decir \( A_{i} \cap A_{j}=0 \), \( \forall i \neq j \), entonces
\( P ( \displaystyle \cup_{i=1}^{n} A_{i})=P (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_{n}) =P(A_1)+ \ldots +P(A_{n})= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \)
El Axioma1 alude al hecho de que la probabilidad nunca puede ser negativa, el Axioma2 dice que la probabilidad asignada al suceso seguro, al suceso cierto, es 1 y el Axioma3 afirma que cuando se tiene una serie de sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro de los sucesos puede calcularse sumando las probabilidades individuales.
La terna formada por \( (E, \beta, P) \) se denomina Espacio Probabilístico o Espacio de Probabilidades.
Ejemplo 4.4: En un experimento se está trabajando con 4 especie de animales, A, B, C y D, excluyentes 2 a 2 y que figuran en las siguientes proporciones: P(A)=0.20, P(B)=0.30, P(C)=0.40 y P(D)=0.10. Si se elige un animal al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la especie A o a la especie B?
Respuesta:
\( P (A \cup B )=P (A)+P (B)=0.20+0.30=0.50 \)Ejemplo 4.5: En un hospital disponen del siguiente porcentaje de tipos de sangre: del tipo A hay el 45 %, del tipo B el 20%, del tipo 0 el 50% y del tipo AB el 5% ¿Cuál es la probabilidad de que undividuo que necesita una tranfusión sea del tipo A, o del B o del AB?
Respuesta: Estos sucesos son mutuamente excluyentes, ya que es imposible que un individuo tenga dos grupos sanguíneos diferentes. Por lo tanto para calcular la probabilidad pedida utilizaremos el Axioma 3
\( P(A \cup B \cup AB)=P (A)+P(B)+P(AB)=0.45+0.20+0.05=0.70 \)Hay un 70% de posibilidades de que el paciente tenga uno de los tres grupos sanguíneos (A, B o AB)
Consecuencias de los axiomas
C1) La probabilidad, \( P(A) \), de un suceso \( A \) es igual a uno menos la probabilidad del suceso complementario, \( P(\bar {A}) \) ; \( P(A)=1-P(\bar {A}) \).
En efecto:
\( P(E) = P(A \cup \bar{A}) =^{(1)(Ax3)}P(A)+P(\bar{A}) \Rightarrow P(E)=P(A)+P(\bar{A}) \Rightarrow ^{(Ax2)} \)
\( 1 = P(A)+P(\bar{A}) \Rightarrow P(A)=1-P(\bar{A}) \)
(1): Los sucesos \( A \) y \( \bar{A} \) son incompatibles
En el ejemplo 4.5: Si llamamos suceo \( A \): “Tener el grupo sanguíneo 0”, entonces el suceso completamentario de \( A \) , \( \bar{A} \): “Tener el grupo sanguíneo A, B o AB”
Ejemplo 4.6: En unos estudios realizados se estima que la probabilidad de curar una determinada enfermedad es 1/4. Calcular la probabilidad de que no se cure la enfermedad
Respuesta: Sean los sucesos: \( C \): “La enfermedad se cura” y \( \bar{C} \) : “La enfermedad no se cura”. La probabilidad pedida es:
\( P(C)=1-P(\bar{C})=1-(1/4)=(3/4) \)C2) La probabilidad del suceso imposible es cero, \( P(\emptyset) = 0 \)
En efecto:
Ejemplo 4.7: Consideramos el experimento de lanzar un dado. Determinar la probabilidad de obtener 7 en una cara
Respuesta: Las caras del dado contienen los números del 1 al 6 por lo tanto es imposible obtener un 7 \( \Rightarrow P(Obtener \hspace{.1cm} un \hspace{.1cm} 7)=0 \)
C3) Si \( A \subset B \) entonces \( P(A) \leq P(B) \)
En efecto, como
\( B=A\cup (B-A) \Rightarrow P(B)=P(A\cup (B-A))=^{(1)(Ax3)}P(A)+P(B-A) \)
(1): Los sucesos \( A \) y \( (B-A) \) son incompatibles.
Por el Axioma1, \( P(B) \geq 0 \), \( P(A) \geq 0 \), \( P(B-A) \geq 0 \Rightarrow P(B) \leq P(A) \)
Ejemplo 4.8: En el lanzamiento de un dado. Sea A el suceso obtener múltiplo de 2 y B obtener un número mayor que 1. Comprobar la consecuencia C3
Respuesta:
\( A: \{2,4,6 \} \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} B: \{2,3,4,5,6 \} \Rightarrow \)
\( A \subset B \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} P(A)=3/6 \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} P(B)=5/6 \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} \) Por tanto, \( P(A)<P(B) \)
C4) La probabilidad, \( P(A) \), de un suceso \( A \) siempre es menor o igual que uno.
En efecto, como \( A \subset E \Rightarrow ^{(C3)} P(A) \leq P(E) =^{(Ax 2)}1 \)
C5) Dados dos sucesos cualesquiera, \( A \) y \( B \), se verifica que:
\( P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \)En efecto, como
\( A=(A-B) \cup (A \cap B) \Rightarrow P(A)=P((A-B) \cup (A \cap B)) =^{(1)(Ax3)} =P(A-B)+P(A \cap B) \Rightarrow \)
\( \Rightarrow P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \)
(1) \( (A-B) \) y \( (A \cap B) \) son incompatibles.
Ejemplo 4.9. En el lanzamiento un dado, sea A el suceso obtener un número impar y B obtener un número mayor que 3. Determinar la Probabilidad de obtener un número impar que no sea mayor que 3
Respuesta:
\( A: \{1,3,5 \} \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} B: \{4,5,6 \} \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} A-B: \{1,3 \} \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} A \cap B: \{5 \} \)
\( P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)=(3/6)-(1/6)=(1/3) \)
C6) Dados dos sucesos cualesquiera, \( A \) y \( B \), se verifica que:
\( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \)
En efecto:
\( A=(A \cap B) \cup (A-B) \Rightarrow^{(Ax3)(1)} \)
\( B=(B \cap A) \cup (B-A) \Rightarrow^{(Ax3)(2)} \)
\( P(A)=P(A \cap B)+P(A-B) \hspace{.4cm}; \hspace{.4cm} P(B)=P(B \cap A) + P(B-A) \)
Como
\( A \cup B = (A-B) \cup (A \cap B) \cup (B-A) \Rightarrow^{(Ax3)(3)} \)
\( P(A\cup B) = P(A-B)+P(A \cap B)+P(B-A) = \)
\( = P(A)-P(A \cap B)+P(A \cap B)+P(B)-P(B \cap A) = \)
\( = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \)
(1): Los sucesos \( (A \cap B) \) y \( (A-B) \) son incompatibles
(2): Los sucesos \( (B \cap A) \) y \( (B-A) \) son incompatibles
(3): Los sucesos \( (A-B) \) , \( (A \cap B) \) y \( (B-A) \) son incompatibles dos a dos.
Ejemplo 4.10: El 4% de las personas de una población son daltónicos, el 18% de las personas de la misma población son hipertensos y el 0.5% son daltónicos e hipertensos. ¿Cuál es el porcentaje de daltónicos o hipertensos?
Respuesta:
Sean los sucesos:\( D \): “Ser daltónico” \( H \): “Ser hipertenso”
\( P(D \cup H)=P(D)+P(H)-P(D \cap H)=0.04+0.18-0.005=0.215 \)C7) Dados tres sucesos cualesquiera, \( A \), \( B \) y \( C \), se verifica que:
\( P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) \)En efecto:
\( P(A \cup B \cup C) = P[(A \cup B) \cup C]=^{(C6)}P(A \cup B)+P(C)-P[(A \cup B) \cap C] = \)
\( = P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P[(A \cap C) \cup (B \cap C)] = \)
\( = P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+ P(A \cap B \cap C) \)
Ejemplo 4.11. En el parque natural de “La Alfaguara” se han detectado tres plagas que afectan a los árboles. La plaga A ha afectado al 15% de los árboles, la plaga B al 20% y al 40% la plaga C. Al 8% la A y la B, al 10% la A y la C, al 9% la B y la C y al 4% las tres plagas. Calcular las probabilidades de que a un árbol le hayan afectado: a) Alguna de las plagas; b) La plaga A pero no la B; c) Las plagas B y C pero no la A; d) Las tres plagas; e) Las plagas A o B ; f) Las plagas A o B y la C; g) Ninguna de las tes plagas.
Respuesta:
\( P(A)=0.15 \hspace{.1cm} ; \hspace{.1cm} P(B)=0.2 \hspace{.1cm}; \hspace{.1cm} P(C)=0.4 \hspace{.1cm}; \hspace{.1cm} P(A∩B)=0.08 \) \( P(A \cap C)=0.1 \hspace{.1cm} ; \hspace{.1cm} P(B \cap C)=0.09 \hspace{.1cm} ; \hspace{.1cm} P(A \cap B \cap C)=0.04 \)a)
\( P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) = \)
\( = 0.15+0.2+0.4-0.08-0.1-0.09+0.04=0.52 \)
b) \( P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)=0.15-0.08=0.07 \)
c) \( P((B \cap C)-A)=P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)=0.09-0.04=0.05 \)
d) \( P(A \cap B \cap C)=0.04 \)
e) \( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap C)=0.15+0.2-0.08=0.27 \)
f)
\( P((A \cup B) \cap C)=P((A \cap C) \cup (B \cap C))= P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C) = \) \( = 0.1+0.09-0.04 = 0.15 \)g) \( P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C})=P( \overline {A \cup B \cup C})=1-P(A \cup B \cup C)=1-0.52=0.48 \)
C8) Dado un conjunto, \( A_1, A_2, \cdots, A_{n} \), de sucesos elementales finito, \( E=A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n} \), e incompatibles dos a dos, se tiene que
\( P(E)=1=P(A_1)+P(A_2)+ \cdots +P(A_{n}) \hspace{.2cm} , \hspace{.3cm} [4.2] \)y dado un suceso \( A \) formado por \( k \) de estos sucesos elementales \( (k \leq n) \)
\( P(A)=P(A_1)+P(A_2) + \cdots +P(A_{k}) \hspace{.2cm} , \hspace{.3cm} [4.3] \)Si suponemos que estos sucesos son equiprobables se tiene de \( [4.2] \) y de \( [4.3] \), respectivamente,
\( \begin{array} {c} 1=nP(A_1) \Rightarrow P(A_1)= \displaystyle \frac{1}{n} \\
P(A)=k P(A_1) \\ \end{array} \)
\( \Rightarrow P(A) = \displaystyle \frac{k}{n} \)
dando lugar a la Definición Clásica de Probabilidad. Por lo tanto, la Definición Axiomática de Probabilidad coincide con la Definición Clásica cuando el espacio muestral es equiprobable.
Ejemplo 4.12: En la Copa del Rey de Futbol, tres equipos han quedado finalistas: el Betis, el Madrid y el Barcelona. Calcular la probabilidad de que gane cada uno en los siguientes casos a) El Betis tiene doble de probabilidad de ganar la Copa que el Madrid y éste el triple que el Barcelona; b) Los tres equipos tienen la misma probabilidad de ganar.
Repuesta: Sean los sucesos; A: “El Betis gana la copa”; B: “El Madrid gana la Copa”; C:”El Barcelona gana la Copa”
a) \( E=\{A,B,C \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(C)=k \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(B)=3k \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(A)=6k \)
\( P(A \cup B \cup C) = ^{(Ax.3)}P(A)+P(B)+P(C)=P(E)=^{(Ax.2)}1= k+3k+6k⇒10k=1 \Rightarrow k=1/10 \)Las probabilidades pedidas son: \( P(A)=6/10 \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(B)=3/1 \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(C)=1/10 \)
b) \( E= \{A,B,C \} \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} P(C)=P(B)=P(A)=k \)
\( P(A \cup B \cup C) = ^{(Ax.3)}P(A)+P(B)+P(C)=P(E)=^{(Ax.2)}1= k+k+k \Rightarrow 3k=1 \Rightarrow k =1/3 \)Las probabilidades pedidas son: \( P(A)=P(B)=P(C)=1/3 \)
Por lo tanto, como hemos dicho en la Consecuencia anterior, si el espacio muestral es equiprobable, la definición axiomática de probabilidad coincide con la definición clásica
Ejemplo 4.13: En una urna hay 3 bolas blancas, 2 negras y 6 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea: a) roja; b) no sea negra.
Respuesta:
a) \( P(R)= \displaystyle \frac {6}{11} \)
b) \( P(N)=1-P(N)=1- \displaystyle \frac {2}{11} \)
Ejemplo 4.14: En un pub hay 22 chicos y 36 chicas, de los cuales la mitad de los chicos y la mitad de las chicas tienen el pelo pelirrojo. ¿Calcular la probabilidad de que elegido uno al azar sea chica o tenga el pelo pelirrojo?
Respuesta:
Sean los sucesos: A: “Ser chica” y B: “Tener el pelo pelirrojo”
\( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = \displaystyle \frac {36}{58}+ \displaystyle \frac {29}{58}- \displaystyle \frac {18}{58}= \displaystyle \frac {47}{58} \)
Probabilidad condicionada. Sucesos independientes
En las secciones anteriores, hemos supuesto que toda la información que teniamos antes de la prueba, en un experimento aleatorio, estaba contenida en el espacio muestral y a partir de ella determinábamos la probabilidad de un suceso A. En esta sección vamos a suponer que tenemos una información adicional. Se trata de ver como el conocimiento de la ocurrencia de esta información adicional, que llamaremos suceso B (no vacío), puede modificar la probabilidad de la ocurrencia del suceso A. Nuestro objetivo es determinar la probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado por el hecho de que algún otro suceso B haya ocurrido previamente.
Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos \( A \) y \( B \), con \( P(B)>0 \), se define la Probabilidad del Suceso \( A \) Condicionada al Suceso \( B \), y se denota \( P(A/B) \), como la probabilidad de que ocurra el suceso \( A \) supuesto que ha ocurrido el suceso \( B \) y viene dada por
\( P(A/B)= \displaystyle \frac {P(A \cap B)}{P(B)} \hspace{.2cm} ; \hspace{.4cm} [4.4] \)
Se demuestra que fijado el suceso \( B \), la probabilidad \( P(A/B) \) verifica los tres axiomas de la probabilidad, es decir
Ax1: \( P(A/B) \geq 0 \). Para todo suceso \( A\in \beta \)
Ax2: \( P(E/B)=1 \)
Ax3: \( P( \displaystyle \cup_{i=1}^{\infty}A_{i}/B) = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i}/B) \hspace{.2cm} ; \hspace{.2cm} (A_{i} \cap A_{j}=0, \forall i \neq j) \)
La terna formada por \( (E, \beta ,P(./B)) \) es un espacio probabilístico.
Por ejemplo, la probabilidad de obtener el número 5 en el lanzamiento de un dado es 1/6. Sin embargo, si tenemos una información adicional: Se sabe que al lanzar el dado ha salido un número impar, pero no sabemos que número es. Entonces, la probabilidad de obtener un 5 ya no es 1/6 sino 1/3 ya que el espacio muestral se ha reducido a E{1,3,5}. Aplicando la expresión (4.4), se tiene
\( P(5/Impar) = \displaystyle \frac {P(5 \hspace{.1cm} e \hspace{.1cm} Impar)}{P(Impar)} = \displaystyle \frac {P(5)}{P(1,3,5)}= \displaystyle \frac {1/6}{3/6}= \displaystyle \frac {1}{3} \)
Ejemplo 4.15: En el lanzamiento de tres monedas. Calcular las siguientes probabilidades: a) Las dos primeras sean caras; b) Exactamente dos sean caras; c) Se satisfagan ambas condiciones; d) Sabiendo que las dos primeras monedas son caras. Determinar la probabilidad de que exactamente sean dos caras.
Respuesta:
Vamos a utilizar el diagrama de árbol para la resolución del ejemplo
Nota: El diagrama de árbol es un método gráfico que nos permite obtener, de una forma fácil, los resultados posibles de un experimento (cuando dicho experimento está formado por pocas etapas). Cada etapa del experimento se representa por una ramificación del árbol.
Sean los sucesos, A: “Las dos primeras sean caras”; B: “Exactamente 2 caras”
a) \( P(A)= \displaystyle \frac {2}{8} \); b) \( P(B)= \displaystyle \frac {3}{8} \) ; c) \( P(A \cap B) = \displaystyle \frac {1}{8} \); d) \( P(B/A)= \displaystyle \frac {1}{2} \)
d) Se pide la probabilidad de obtener exactamente dos caras sabiendo que las dos primeras monedas son caras. El espacio muestral ya no está formado por ocho sucesos elementales, \( \{CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX \} \), sino que se ha reducido a \( \{CCC,CCX \} \). La pregunta condicional planteada se resuelve mediante este nuevo espacio muestral, la probabilidad pedida es \( 1/2 \) (ya que los dos sucesos son igualmente probables y sólo uno de ellos corresponde al hecho “las dos primeras sean caras”). Aplicando la expresión [4.4], se tiene
\( P(B/A) = \displaystyle \frac {P(A∩B)}{P(A)}= \displaystyle \frac{1/8}{2/8}= \displaystyle \frac {1}{2} \)
Nota: \( \overline {A/B}=(\bar{A}/B) \Rightarrow P(\bar{A}/B)=P ( \overline{A/B})=1-P(A/B) \)
De la definición de probabilidad condicionada se deduce el siguiente teorema
Teorema de la probabilidad compuesta o del producto
La probabilidad de la intersección de dos sucesos \( A \) y \( B \) es igual al producto de uno de ellos por la probabilidad condiciona del otro suceso suponiendo que se ha verificado el primero
\( P(A \cap B)=P(A)P(B/A) \hspace{.2cm}\) con \( \hspace{.2cm} P(A)>0 \)
\( P(A \cap B)=P(B)P(A/B) \hspace{.2cm} \) con \( \hspace{.2cm} P(B)>0 \)
En el caso de tres sucesos, \( A \), \( B \) y \( C \), se tiene:
\( P(A \cap B \cap C)=P(A \cap B)P(C /A \cap B)=P(A)P(B/A)P(C/A \cap B) \hspace{.2cm} \) con \( \hspace{.2cm} P(A\cap B)>0 \)
Generalizando para \( n \) sucesos, \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \), se tiene:
\( P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots ∩A_{n}) = P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1 \cap A_2) \cdots P(A_{n}/A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n-1}) \)
con \( \hspace{.2cm} P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) > 0 \)
Ejemplo 4.16: En un centro médico se utilizan 5 tipos de antibióticos, A, B, C,D y E. La fracción de veces que se utiliza el antibiótico A es:P(A)=0.30. Además el 0.1% de los preparados del antibiótico A tienen dosis insuficiente (menor que la que indica la etiqueta), y el 40% de los enfermos tratados con el A insuficientemente dosificado se curan. Si se elige al azar uno de los enfermos que se está tratando con antibiótico ¿Cuál es la probabilidad de que esté recibiendo el antibiótico A, con dosis insuficiente y que se cure?
Respuesta:
Sean los sucesos: A: “Recibir el antibiótico A” ; B: “Con dosis insuficiente” ; Cu: “Curarse”
\( P(A \cap I \cap Cu)=P(Cu/A \cap I)P(I/A)P(A)=0.40×0.001×0.30=0.00012 \)Ejemplo 4.17: En unos laboratorios farmaceúticos se ha realizado un estudio sobre las personas hipertensas. Se estima que el 35% de la población adulta padece hipertensión, el 7% tiene hipertensión pero no es consciente de padecerla y el 40% creen que no son hipertensos. Si un paciente adulto cree que no es hipertenso, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hipertenso?
Respuesta:
Sean los sucesos, A: “El paciente cree que no es hipertenso” ; B: “El paciente es hipertenso”
\( P(A)=0.4 \hspace{.1cm} ; \hspace{.1cm} P(B)=0.35 \hspace{.1cm}; \hspace{.1cm} P(A \cap B)=0.07 \). Tenemos que determinar \( P(B/A) \)
\( P(B/A)= \displaystyle \frac {P(A∩B)}{P(A)}= \displaystyle \frac {0.07}{0.4}=0.175 \)
Sucesos independientes
Dos dos sucesos \( A \) y \( B \) se dice que son Independientes cuando la probabilidad de uno no depende de la ocurrencia o no del otro, es decir \( A \) es independiente de \( B \) si y sólo si \( P(A/B)=P(A) \) (la ocurrencia de \( B \) no modifica la probabilidad de \( A \)).
En caso contrario los sucesos son dependientes, es decir \( A \) es Dependiente de \( B \) si \( P(A/B) \neq P(A) \)
De la definición de inpedendencia, aplicando la expresión de probabilidad condicionada, se deduce
\( P(A/B)=P(A) \Rightarrow \displaystyle \frac {P(A \cap B)}{P(B)}=P(A) \Rightarrow P(A \cap B)=P(A)P(B) \)La independencia es una propiedad recíproca. En efecto,
Si \( A \) es independiente de \( B \)
\( P(B/A) = \displaystyle \frac {P(A∩B)}{P(A)}=⁽¹⁾ \displaystyle \frac {P(A)P(B)}{P(A)}=P(B) \Rightarrow P(B/A)=P(B) \Rightarrow \) \( B \) es independiente de \( A \).
(1) \( A \) es independiente de \( B \).
Resumiendo, decimos que los sucesos \( A \) y \( B \) son Independientes sí y sólo si \( P(A \cap B)=P(A)P(B) \)
- Tres sucesos \( A_1, A_2, A_3 \) son independientes si y sólo si
\( P(A_{i} \cap A_{j})=P(A_{i})P(A_{j}) \hspace{.4cm} \forall i \neq j \).
\( P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3) \).
- En general \( n \) sucesos \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \) son independientes si y sólo si
\( P(A_{i} \cap A_{j})=P(A_{i})P(A_{j}) \hspace{.4cm} \forall i \neq j \)
\( P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n})=P(A_1)P(A_2)⋯P(A_{n}) \)
Consecuencias
C1) Si \( A \) y \( B \) son independientes entonces \( \bar{A} \) y \( \bar{B} \) también son independientes
En efecto:
\( P(\bar{A} \cap \bar{B})=^{(1)}P(\overline{A \cup B})=^{(2)}1-P(A \cup B)=^{(3)}1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)=^{(1) y (4)} \)
\( = P(\bar{A})-P(B)+P(A)P(B)=P(\bar{A})-P(B)(1-P(A))= \)
\( =P(\bar{A})-P(B)P(\bar{A})=P(\bar{A})(1-P(B))=P(\bar{A})P(\bar{B}) \Rightarrow \) \( \bar{A} \) y \( \bar{B} \) son independientes
(1): Leyes de Morgan; (2): Consecuencia 1 de los Axiomas de probabilidad; (3): Consecuencia 6 de los Axiomas de probabilidad; (4): A y B independientes
C2) Si \( A \) y \( B \) son independientes entonces \( \bar{A} \) y \( B \) también son independientes
En efecto:
\( P(\bar{A} \cap B) = P(B)P(\bar{A}/B)=^{(1)}P(B)(1-P(A/B))=^{(2)}P(B)(1-P(A))= ^{(1)}P(B)P(\bar{A}) \Rightarrow \)
\( \bar{A} \) y \( B \hspace{.1cm} \) son independientes
(1): Consecuencia 1 de los Axiomas de probabilidad; (2): A y B independientes.
También se puede comprobar de la siguiente forma:
\( P(\bar{A}/B)=^{(1)}1-P(A/B)=^{(2)}1-P(A)=^{(1)}P(\bar{A}) \Rightarrow P(\bar{A}/B)=P(\bar{A}) \)(1): Consecuencia 1 de los Axiomas de probabilidad; (2): A y B son independientes.
Ejemplo 4.18: Supongamos que el 8% de las familias de una población tienen más de 5 hijos, y que el 45% de las mismas familias tienen más varones que hembras. Supongamos además, que ambos sucesos son independientes ¿Cuál es la probabilidad de que elegida al azar una familia de dicha población tenga más de 5 hijos y más varones que hembras?
Respuesta:
Sean los sucesos, A: “Más de 5 hijos”; B: “Más varones que hembras”
\( P(A \cap B)=P(A)P(B)=0.08×0.45 \)Ejemplo 4.19: La probabilidad de que Pablo acuda a una fiesta es 1/7 y de que acuda Patricia es 1/5. Hallar las siguientes probabilidades: a) Ambos acudan a la fiesta; b) Al menos uno acuda a la fiesta; c) Ninguno acuda a la fiesta; d) Solamente Patricia acuda a la fiesta.
Respuesta:
Sean los sucesos, A: “Pablo acude a la fiesta”; B: “Patricia acude a la fiesta”
a) \( P(A \cap B)=P(A)P(B)= \displaystyle \frac {1}{7}× \displaystyle \frac {1}{5}= \displaystyle \frac {1}{35} \)
b) \( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)= \displaystyle \frac {1}{7}+ \displaystyle \frac {1}{5}- \displaystyle \frac {1}{35} \)
c) \( P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A})P(\bar{B})= \left (1- \displaystyle \frac {1}{7}\right) \left(1- \displaystyle \frac {1}{5}\right)= \displaystyle \frac {6}{7}× \displaystyle \frac {4}{5}= \displaystyle \frac {24}{35}\)
d) \( P(\bar{A} \cap B)=P(\bar{A})P(B)=\left(1- \displaystyle \frac {1}{7} \right) \left( \displaystyle \frac {1}{5} \right)= \displaystyle \frac {6}{7}× \displaystyle \frac {1}{5}= \displaystyle \frac {6}{35} \)
Ejemplo 4.20: Una agencia de viajes tiene clasificados a sus clientes teniendo en cuenta si realizan viajes regularmente o de forma esporádica y según efectúan el pago al contado o a través de créditos. La distribución de los clientes figura en la siguiente tabla
\( \begin{array} {|l|cc|} \hline & Forma \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} Pago \\ \hline Tipo \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} viaje & Al \hspace{.1cm} contado & Crédito \\ \hline Regular & 20 & 25 \\ \hline Esporádico & 15 & 190 \\ \hline \end{array} \)
La agencia decide sortear un coche entre sus clientes eligiendo uno de ellos al azar
a) Calcular la probabilidad de que el cliente elegido realice viajes de forma regular o bien utilice créditos para efectuar sus pagos
b) Calcular la probabilidad de que el cliente que le ha tocado el coche realice viajes regularmente si se sabe que el elegido efectúa sus pagos mediante créditos
c) Calcular la probabilidad de que el cliente afortunado con el coche realice los pagos mediante créditos si se sabe que realiza viajes regularmente
d) ¿Son independientes los sucesos comprar a crédito y comprar regularmente?
Respuesta
\( \begin{array} {|c|ccc|} \hline & & Forma \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} Pago \\ \hline Tipo \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} viaje & Al \hspace{.1cm} contado & Crédito & \\ \hline Regular & 20 & 25 & 45 \\ \hline Esporádico & 15 & 190 & 205 \\ \hline & 35 & 215 & 250 \\ \hline \end{array} \)
Sean los sucesos, A: “Un cliente realiza viajes regularmente”; B: “Un cliente efectúa los pagos mediante créditos”
a) \( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)= \displaystyle \frac {45}{250}+ \displaystyle \frac {215}{250}- \displaystyle \frac {25}{250}= \displaystyle \frac {235}{250}= \displaystyle \frac {47}{50} \)
b) \( P(A/B)= \displaystyle \frac{P(A \cap B )}{P(B)}= \displaystyle \frac{25/250}{215/250}= \displaystyle \frac {5}{43} \)
c) \( P(A/B)= \displaystyle \frac{P(A \cap B )}{P(A)}= \displaystyle \frac {25/250}{45/250}= \displaystyle \frac {5}{9} \)
d) \( P(A)= \displaystyle \frac {9}{50} \neq P(A/B)= \displaystyle \frac {5}{43}⇒ \) Los sucesos \( A \) y \( B \) no son independientes
Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
En esta sección presentamos dos teoremas, que para calcular la probabilidad de un suceso incorporan información previa o a priori de este suceso en relación con otros. Los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes tratan de incorporar esta información. Comenzaremos con una definición
Definición: Se dice que los sucesos \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \) es un Sistema Completo de sucesos de \( E \) si son incompatibles dos a dos y exhaustivos. Es decir,
\( A_{i} \cap A_{j}= \emptyset \hspace{.1cm} ; \hspace{.1cm} \forall i \neq j \hspace{.1cm} ,\hspace{.2cm} i,j=1, \cdots n \hspace{.2cm}; \hspace{.2cm} \) y \( \hspace{.2cm} \cup_{i=1}^{n} A_{i}=E \)
Teorema de la probabilidad total
Sea \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \) un sistema completos de sucesos de \( E \) y sea \( B \) un suceso cualquiera tal que \( P(B) \neq 0 \) . Supongamos conocidas las probabilidades \( P(A_{i}) \) y \( P(B/A_{i}) \) para \( i=1,2, \cdots, n \). Entonces
\( P(B)= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A_{i})P(B/A_{i}) \)
Demostración
Ilustraremos este teorema con la siguiente figura que representa el sistema completo, \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \), de \( E \) y el suceso \( B \)
Los subconjuntos \( B \cap A_{i} \) son incompatibles, puesto que, la familia de subconjuntos \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \) son incompatibles dos a dos.
\( P(B) = P(B \cap E)=P[B \cap (A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n})]= \)
\( = P[(B \cap A_1) \cup (B \cap A_2) \cup \cdots \cup (B \cap A_{n})]=^{(1)} P(B \cap A_1)+P(B \cap A_2)+ \cdots +P(B \cap A_{n})= ^{(2)} \)
\( = P(A_1)P(B/A_1)+⋯+P(A_{n})P(B/A_{n})=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A_{i})P(B/A_{i}) \)
(1): Los subconjuntos \( B \cap A_{i} \) son incompatibles
(2): Teorema de la probabilidad compuesta o del producto.
Ejemplo 4.21: Se dispone de 3 urnas con 4 bolas negras y 3 bolas blancas cada una. Además disponemos de 4 urnas con 5 bolas negras y 6 bolas blancas. De entre las 7 urnas se extrae una al azar y a continuación una bola al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
Respuesta:
Sean los sucesos: U₁: “La urna con 4 bolas negras y 3 blancas”; U₂: “La urna con 5 bolas negras y 6 blancas“; B: “Sacar bola blanca”
\( P(B)=P(B/U_1)P(U_1)+P(B/U_2)P(U_2)= \displaystyle \frac{3}{7}× \displaystyle \frac{3}{7}+ \displaystyle \frac{6}{11}× \displaystyle \frac{4}{7}=0.4954 \)
Teorema de Bayes
Sea \( A_1, A_2, \cdots , A_{n} \) un sistema completo de sucesos de \( E \). Sea \( B \) un suceso cualquiera no imposible, es decir \( P(B) \neq 0 \) y sean conocidas las probabilidades \( P(A_{i}) \) y \( P(B/A_{i}) \) (para \( i=1, \cdots ,n \)). Entonces
\( P(A_{i}/B)= \displaystyle \frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}P(A_{j})P(B/A_{j})} \)
El Teorema de Bayes expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, \( A_{i} \), condicionado a que el suceso \( B \) ya ha ocurrido.
Demostración
\( P(A_{i}/B)=^{(1)} \displaystyle \frac{P(A_{i}∩B)}{P(B)}=^{(2)} \displaystyle \frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}P(A_{j})P(B/A_{j})}\)
(1): Por la definición de Probabilidad Condicionada
(2): En el numerador, por el Teorema de la Probabilidad Compuesta
(2): En el denominador, por el Teorema de la Probabilidad Total
En la fórmula de Bayes intervienen dos tipos de probabilidades:
- Las probabilidades de los sucesos que constituyen el sistema completo, \( P(A_{i}) \). Estas probabilidades reciben el nombre de Probabilidades a Priori o Probabilidades de las Causas, pues se obtienen sin información adicional
- Las probabilidades del suceso \( B \) condicionada a cada uno de los sucesos del sistema completo, \( P(B/A_{i}) \), que son cantidades de apoyo llamadas Verosimilitudes
- Las probabilidades obtenidas a partir de la fórmula de Bayes, \( P(A_{i}/B) \), reciben el nombre de Probabilidades a Posteriori, ya que modifican las probabilidades de los sucesos \( A_{i} \) como consecuencia de haber ocurrido el suceso \( B \).
Ejemplo 4.22: De los síntomas observados en un enfermo se deduce, por larga experiencia clínica, que puede tener la enfermedad A con la probabilidad 0.50, la enfermedad B con 0.40 y la enfermedad C con 0.10. Para precisar el diagnóstico se somete al paciente a un análisis de sangre que da resultado positivo (R₊) en las personas que padecen las enfermedades A, B, C, con las siguientes probabilidades: P(R₊/A)=0.30; P(R₊/B)=0.98; P(R₊/C)=0.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el enfermo padezca cada una de las 3 enfermedades, en el supuesto de que el análisis de sangre resulte positivo?
Respuesta:
\( P(A/R₊) = \displaystyle \frac{P(A)P(R₊/A)}{P(A)P(R₊/A)+P(B)P(R₊/B)+P(C)P(R₊/C)}= \)
\( = \displaystyle \frac{ 0.50×0.30}{0.50×0.30+0.40×0.98+0.10×0.20}= \displaystyle \frac{0.15}{0.562}=0.2669 \)
\( P(B/R₊)= \displaystyle \frac{P(B)P(R₊/B)}{0.562}= \displaystyle \frac{0.40×0.98}{0.562}=0.6975 \)
\( P(C/R₊)= \displaystyle \frac{P(C)P(R₊/C)}{0.562}= \displaystyle \frac{0.10×0.20}{0.562}=0.0356 \)
Ejemplo 4.23: En un torneo de tiro, las probabilidades de que 3 hombres den en el blanco son, respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3.
a) Cada uno dispara una vez al blanco. Hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos de en el blanco.
b) Si solamente se hace un disparo y da en el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre?
Respuesta:
Sean los sucesos: A: “El primer hombre de en el blanco”; B: “El segundo hombre de en el blanco”; C: “El tercer hombre de en el blanco”
a)
\( P[(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)]= P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C})+P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C})+P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)= \)
\( =\displaystyle \frac{1}{6} \left(1- \displaystyle \frac{1}{4} \right) \left(1- \displaystyle \frac{1}{3} \right)+ \left(1- \displaystyle \frac{1}{6} \right) \left( \displaystyle \frac{1}{4} \right) \left(1- \displaystyle \frac{1}{3} \right)+ \left(1- \displaystyle \frac{1}{6} \right) \left(1- \displaystyle \frac{1}{4} \right) \left( \displaystyle \frac{1}{3} \right)= \displaystyle \frac{6}{72}+ \displaystyle \frac{10}{72}+ \displaystyle \frac{15}{72}= \displaystyle \frac{31}{72} \)
b) Sean los sucesos: D₁: “Dispare el primer hombre”; D₂: “Dispare el segundo hombre”; D₃: “Dispare el tercer hombre”; Bl: “Dar en el blanco”
\( P(D₁/Bl)= \displaystyle \frac{P(D_1)P(Bl/D_1)}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{3}P(D_{i})P(Bl/D_{i})}= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}×\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{1}{3}× \displaystyle \frac{1}{6}+ \displaystyle \frac{1}{3}× \displaystyle \frac{1}{4}+ \displaystyle \frac{1}{3}×\displaystyle \frac{1}{3}}= \displaystyle \frac{2}{9} \)
Ejemplo 4.24: Si cierta enfermedad está presente, existe una probabilidad del 99% de que una prueba sanguínea sea efectiva para detectarla. Sin embargo, la prueba también ofrece un resultado positivo falso en un 2% de los pacientes sanos (es decir, si una persona sana se somete a la prueba, existe una probabilidad igual a 0.02 de que la prueba indique que esa persona esté enferma). Supongamos que un 0.5% de la población padece la enfermedad. Se pide: a) La probabilidad de que un individuo que aleatoriamente se ha sometido a la prueba padezca realmente la enfermedad, sabiendo que su prueba ha resultado positiva; b) ¿En qué te has basado para dar solución a la pregunta anterior?; c) Interpreta los resultados obtenidos.
Respuesta:
Sean los sucesos: D: “Padecer la enfermedad”; E: “La prueba resulte positiva”
\( P(D)=0.005 \); \( P(E/D)=0.99 \); \( P(E/D)=0.02 \)
a)
\( P(D/E)= \displaystyle \frac{P(E/D)P(D)}{(P(E/D)P(D)+P(E/D)P(D)}= \displaystyle \frac{0.99×0.005}{0.99×0.005+0.02×0.995}=0.199 \)
b) El terorema de Bayes
c) Existe una probabilidad aproximada del 20% de que una persona de la población, aleatoriamente elegida, cuya prueba haya resultado positiva padezca realmente la enfermedad.
Ejercicios propuestos: Relación IV
1. La hemofilia clásica es una enfermedad que la mujer no la padece pero es portadora. Una mujer que es portadora de hemofilia tiene cuatro hijos, Determinar las probabilidades de cada uno de los sucesos siguientes: a) El primer hijo tenga hemofilia; b) Exactamente dos de los cuatro hijos tenga hemofilia; c) El mayor y el más pequeño tenga hemofilia; d) Dos tengan hemofilia y dos no la tengan; e) No transmita su enfermedad a ninguno de sus hijos. (Sol: 1/2; 6/16; 4/16; 6/16; 1/16).
2. Se realizan unos análisis en muestras del agua del mar, tomadas en las proximidades de la desembocadura de un río en cuyas orillas se localizan numerosas plantas industriales, para detectar la presencia de dos metales: el plomo y el mercurio. De los estudios realizados se encuentra que el 45% de las muestras tienen niveles tóxicos de plomo o de mercurio, y que el 30 % tiene nivel tóxico de plomo. De estas muestras, el 10% contiene un nivel alto de ambos metales. Determinar las siguientes probabilidades: a) Una muestra contenga un nivel alto de mercurio; b) Una muestra contenga sólo mercurio. (Sol. 0.25; 0.2)
3. En unos estudios realizados sobre las personas alcohólicas se informa que el 45% de los mismos tiene el padre alcohólico, el 20% tiene la madre alcohólica y el 48% tiene al menos uno de los padres alcohólicos. Determinar la probabilidad de que elegido un individuo al azar: a) Tenga ambos padres alcohólicos; b) Tenga una madre alcohólica si lo es el padre; c) Tenga una madre alcohólica pero no un padre alcohólico; d) Tenga una madre alcohólica si el padre no lo es; e) Sólo tenga el padre alcohólico. (Sol. a) 0.17; b) 0.38; c) 0.03; d) 0.054; e) 0.28).
4. Unos estudios realizados sobre una cierta raza de conejos en la Sierra de Arana de la provincia de Granada muestran que dicha especie muere antes de lo normal, aún en ausencia de depredadores o de enfermedades conocidas como la mixomatosis. Dos de las causas de muerte identificadas son: baja cantidad de azúcar en sangre y convulsiones. Los estudios muestran que el 30% de los conejos sufre convulsiones, el 10% presentan ambos síntomas y el 45% tiene bajo nivel de azúcar en sangre. Calcular: a) El porcentaje de muertes producidas por causas que no sean las que hemos mencionado; b) La probabilidad de que un conejo elegido al azar que tenga bajo nivel de azúcar en sangre sufra también convulsiones. (Sol. a) 0.35; b) 0.22).
5. La probabilidad de contraer hepatitis a través de una transfusión de sangre es de 0.02. Un paciente recibe dos transfusiones sanguíneas. Determinar la probabilidad de que no contraiga hepatitis. (Sol. 0.9604)
6. En una investigación sobre la influencia de la dieta alimenticia en la diabetes se han utilizado 3 tipos de ratas A, B y C, en las siguientes proporciones: P(A)=0.60; P(B)=0.30; P(C)=0.10. Además, la fracción de ratas del tipo A que padecen diabetes es P(D/A)=0.25 y la fracción de las ratas diabéticas del tipo A que presentan además una lesión en el hígado (L.H) es \( P(L.H/A \cap D)=0.35 \) . Si se elige una rata al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A y sea diabética y tenga el hígado lesionado? (Sol: 0.0525).
7. Si se lanzan 3 dados (rojo, azul y verde) ¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer dado salga un número par de puntos, en el segundo un múltiplo de 3 y en el tercero un número de puntos mayor que 4? (Sol: 0.0555).
8. En unos estudios realizados sobre la mortandad de un determinado tipo de cáncer se obtiene el siguiente resultado: el 61% de los pacientes son mujeres; el 45% de los pacientes sobrevive al menos cinco años desde el momento del diagnóstico. Pero esta tasa de supervivencia sólo es válida para el 30% de las mujeres. Determinar la probabilidad de que un paciente de cáncer seleccionado aleatoriamente sea mujer y sobreviva al menos cinco años. (Sol. 0.183)
9. Una bolsa contiene 20 bolas numeradas con los 20 primeros números, 10 bolas blancas numeradas del 1 al 10 y 10 bolas negras numeradas del 11 al 20. Se extraen dos bolas simultáneamente. Calcular las probabilidades: a) las 2 bolas sean blancas; b) las 2 bolas sean de distinto color; c) El número que lleva una al menos de las bolas sea múltiplo de 3 (Sol. a) 9/38; b) 10/19; c) 99/190)
10. Se esta experimentado con 3 tipos de semillas de trigo, A, B y C. Se sembró una parcela en la que germinaron un 60 % de plantas del tipo A, un 35 % del tipo B y un 5% del tipo C. El porcentaje de espigas con más de 50 granos de trigo es del 20 % para el tipo A, del 90 % para el tipo B y del 45 % para el tipo C. Se elige una espiga al azar: a) Calcular la probabilidad de que tenga más de 50 granos; b) Si la espiga elegida tiene más de 50 granos, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (Sol: a) 0.4575; b) 0.6685)
11. En un concurso de televisión llegaron 3 finalistas, a los cuales se les presentó una urna que contenía 2 bolas blancas y 1 roja. Las blancas están marcadas con 6000 euros y la roja con 12000 euros. Cada finalista toma una bola de la urna y la televisión le entrega la cantidad marcada en ella. Una bola que ha sido extraída no se devuelve a la urna, de forma que para la segunda persona sólo quedan 2 bolas en la urna y para la 3ª sólo una. ¿Cuál de las tres personas tiene más probabilidad de llevarse los 12000 euros, la persona que saca la bola en primer lugar, la segunda o la tercera? (Sol: 1/3)
12. Una urna contiene 20 bolas de las cuales 8 son rojas, 3 son verdes y 9 son negras. Se extraen 3 sucesivamente y sin reemplazamiento. Determinar las siguientes probabilidades: a) Las 3 sean rojas; b) Por lo menos una verde; c) Las 3 sean distintas; d) Roja, verde y negra, en ese orden; e) Dos rojas y una verde. (Sol: a) 14/285; b) 23/57; c) 18/95; d) 3/95; e) 7/95).
13. Tres vecinos utilizan la misma línea de autobuses para regresar a su casa a las 6 pm. Debido a demoras imprevistas en cada una de sus oficinas, no siempre cogen el mismo. Cada uno de ellos, independientemente de los demás, alcanza el autobús de las 18:10 con la probabilidad de 1/4, el de las 18:15 con probabilidad 1/2 y el de las 18:20 con probabilidad de 1/4. ¿Cuál es la probabilidad de que coincidan en un día determinado en el regreso a casa? (Sol: 0.15625)
14. Los datos recogidos en un banco de sangre indican que el 0.2 % de todos los donantes da positivo en el test para el virus de inmunodeficiencia humana (VIH), el 1 % da positivo para el test del herpes y el 1.03 % da positivo para uno u otro de estos tests. Se elige al azar un donante, determinar las siguientes probabilidades: a) De positivo en ambos test; b) De positivo por lo menos en uno de los tests; c) No de positvo en ninguno. (Sol: a) 0.0017; b) 0.0103; c) 0.9897)
15. En unos laboratorios farmaceúticos se está analizando un determinado compuesto, para ello se toma un grupo de ratones y se les suministra cierta dosis del compuesto. Se comprueba que el 45 % de los ratones muere, el 35 % presenta cianosis y el 30 % muere y presenta cianosis. Calcular las probabilidades de que un ratón: a) Muera o presente cianosis; b) Viva si presenta cianosis; c) Viva y presente cianosis; d) no presente cianosis si muere; e) Muera sin presentar cianosis. (Sol: a) 0.5; b) 0.5; c) 0.1; d) 0.75; e) 0.375)
16. Se realizan unos estudios sobre las mutaciones que presentan cierto tipo de moscas. Se observa que el 30% presentan una mutación en las alas, el 60% presentan mutación en los ojos y el 40% de las que presentan mutación en las alas presentan mutación en los ojos. Se elige una mosca al azar, determinar: a) La probabilidad de que la mosca presente al menos una de las mutaciones; b) Si tiene mutación en los ojos ¿cuál es la probabilidad de que no presente mutación en las alas? c) La probabilidad de que la mosca presente mutación en las alas pero no en los ojos. (Sol: a) 0.78; b) 0.8; c) 0.18)
17. En 3 regiones, A, B y C, de un país se declaró una epidemia de cólera. La probabilidad de que una persona que visita una de las regiones se contagie es de 0.15 para la región A, 0.08 para la B y 0.24 para la C. Los turistas que están visitando cada una de las 3 regiones se reparten en las siguientes proporciones: El 30% para la región A, el 50% para la B y el 20% para la C. Se eligió un turista al azar y resultó que tenía cólera. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre en la región C? (Sol. 0.3609).
18. Se dispone de 4 cajas en unos laboratorios, cada una de las cuales contiene 10 cobayas que pueden ser blancas o marrones. La composición de las cajas es:
\( C_1 \) :5 blancas y 5 marrones ; \( C_2 \) :6 blancas y 4 marrones ; \( C_3 \) :7 blancas y 3 marrones ; \( C_4 \) :4 blancas y 6 marrones
Elegimos una caja al azar y extraemos cuatro cobayas. Calcular: a) La probabilidad de que las cuatro sean blancas; b) De las cuatro cobayas extraídas, tres son blancas y una marrón ¿Cuál es la probabilidad de que la caja elegida haya sido la segunda suponiendo que el orden sea el dado ? (Sol: a) 1/15; b) 0.3347).
19 Un determinado tipo de cáncer se está tratando con la combinación de tres fármacos. Se observa que, cuando se utilizan simultáneamente, dos de los tres fármacos se inhibirán de forma que sólo uno será activo. Cuando esto ocurre la probabilidad de que cada uno de los fármacos actúe solo es la misma. La efectividad de cada fármaco, con respecto a producir una remisión del tumor, es diferente. El fármaco A es efectivo en un 55% de los casos; el fármaco B, en un 80%, y el fármaco C, en un 70%. Un paciente está siendo tratado con la combinación de estos tres fármacos y la enfermedad remite. Calcular la probabilidad de que sea debido al fármaco C (Sol. 0.34).
20. Unos laboratorios farmaceúticos quieren lanzar un nuevo tipo de vacuna contra una enfermedad contagiosa. Los estudios se realizan en ratas de laboratorio. Se vacunan la tercera parte de las ratas y se comprueba que por cada rata enferma vacunada hay cinco sin vacunar. Los laboratorios quieren comprobar si la vacuna es efectiva. (La efectividad de la vacuna se comprueba comparando la probabilidad de estar enfermo estando vacunado con la probabilidad de estar enfermo sin estar vacunado). (Sol: la vacuna es efectiva)
21. Un investigador está estudiando tres antibióticos A1, A2, A3. Al inyectar los antibióticos a conejillos de indias, las probabilidades de que se cure una infección son 1/4 para el nº 1; 1/8 para el nº 2 y 3/8 para el nº 3. Hay 1 frasco del nº 1, 3 del nº 2 y 1 del nº 3. El investigador toma un frasco al azar y con ese antibiótico inyecta a un conejillo. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se cure la infección?; b) Si al conejillo se le cura la infección, ¿cuál es la probabilidad de que el antibiótico inyectado fuese el nº 2? ; c) ¿Cuál es la probabilidad de que al conejillo se le inyecte el antibiótico nº 3 y no se le cure la infección? (Sol: a) 1/5; b) 3/8; c) 3/40).
22. La distribución de los grupos sanguíneos en un determinado hospital es: el 41 % del tipo A; 9% del tipo B; 4 % del tipo AB y 46% del tipo 0. Debido a causas externas, el 4% de las personas pertenecientes al tipo 0 fueron clasificadas como del tipo A; el 88% del tipo A fueron correctamente clasificadas; el 4% de las del tipo B y el 10 % de las del tipo AB se clasificaron como del tipo A. Un paciente se clasificó como del tipo A ¿Cuál es la probabilidad de que dicho grupo sea veraderamente el suyo? (Sol: 0.93).
23. En la Sierra de Segura hay 200000 olivos. Para investigar la incidencia de la tuberculosis del olivo en esta zona se decide dividir el terreno en cuatro áreas; norte, sur, este y oeste quedando dentro de la zona norte el 20% de los olivos, en la zona sur el 40%, en la zona este el 35% y en la zona oeste el 5%. En cada una de las zonas se estudia una muestra de 100 olivos, los cuales se someten a una prueba que arroja los siguientes resultados: en la zona norte se encuentran 27 olivos afectados por la enfermedad, en la zona sur 15 olivos, en la zona este 12 olivos y en la zona oeste 23. Se pide: a) Si se elige un olivo al azar de cualquier zona de la Sierra de Segura, ¿cuál es la probabilidad de que esté afectado por la tuberculosis? b) Si al elegir un olivo y realizarle la prueba resulta tener la enfermedad, ¿de qué zona es más probable que provenga? (Sol. Es más probable que sea de la zona Sur.( a) 0.1675; b) 0.358).
24. Se realizan unos estudios sobre la efectividad de tres tratamientos distintos para curar una enfermedad. Para ello, en unos laboratorios, tres cobayas A, B y C están siendo tratadas con los tratamientos T1, T2, y T3 respectivamente. La probabilidad de curación con el T1 es igual a 1/5, con el T2 es igual a 1/3 y con el T3 es igual a 1/2. Determinar: a) La probabilidad de que exactamente una cobaya se cure; b) Si solo una cobaya se cura, calcular la probabilidad de que sea la A; c) Se elige una cobaya al azar y está curada, ¿cuál es la probabilidad de que sea la cobaya B? (Sol: a) 7/15; b) 14/31; c) 10/31).
25. Para detectar la presencia de un virus en un cierto cultivo, se pueden aplicar tres procedimientos diferentes A, B y C. La probabilidad de error en la detección del virus varía según el tipo de procedimiento. Tras analizar una serie de cultivos, según los distintos métodos, se obtienen los siguientes resultados:
\( \begin{array} {|c|c|c|} \hline Método \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} análisis & Proporción \hspace{.1cm} cultivos\hspace{.1cm} examinados & Probabilidad \hspace{.1cm} de \hspace{.1cm} error \hspace{.1cm} en \hspace{.1cm} detección \hspace{.1cm} del \hspace{.1cm} virus \\ \hline A & 0.18 & 0.002 \\ \hline B & 0.42 & 0.005 \\ \hline C & 0.40 & 0.001 \\ \hline \end{array} \)
Determinar: a) La probabilidad de error en la detección del virus independientemente del método empleado para el análisis del cultivo; b) Si se sabe que se ha cometido un error a la hora de detectar el virus sobre un cierto cultivo, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido analizado según el procedimiento C? (Sol: a) 0.00286; b) 0.1399).
26. En un Parque Natural, altamente amenazado por la proximidad de una central térmica, la probabilidad de que se produzca una situación de riesgo o peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma en la central funcione es 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma sin que se produzca el peligro es 0.03. Calcular: a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya habido peligro; b) Probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya habido peligro. (Sol: a) 0.221; b) 0.0057)
27. En una ciudad el 40% de la población fuma, además el 1% de los individuos de la población que no fuman padece bronquitis crónica y el 10% de los que fuman padecen dicha enfermedad. Obtener: a) La probabilidad de padecer bronquitis crónica independientemente de si se es fumador o no; b) Si se selecciona un individuo al azar y resulta tener bronquitis, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador? (Sol: a) 0.046; b) 0.8016)
28. En un laboratorio se tienen distintas muestras de sangre que se están analizando. Un individuo escogido al azar puede tener el nivel de colesterol LDL alto (suceso A), el nivel GPT alto (suceso B) y alta la Bilirrubina (suceso C). Para realizar un estudio se sabe que: Escogido un individuo al azar
∗ La probabilidad de que tenga el nivel GPT alto es igual a 0.2.
∗ La probabilidad de que tenga el nivel de colesterol LDL alto o el nivel GPT alto es igual a 0.44.
∗ Si de un individuo se sabe que tiene el nivel GPT alto, entonces la probabilidad de que tenga el colesterol LDL alto es de 0.3.
∗ Si de un individuo se sabe que tiene los niveles LDL y GPT altos, entonces la probabilidad de que tenga la Bilirrubina alta es igual a 0.2.
Calcular la probabilidad de que un individuo tenga: a) Los niveles LDL y GPT altos; b) El nivel LDL alto; c) El nivel LDL alto o el de GPT no lo tenga alto; d) Altos los tres niveles; e) ¿cuánto debe valer la probabilidad de tener la Bilirrubina alta para que los tres sucesos sean independientes?; f) En el laboratorio hay tres cajones donde se depositan 100 muestras en cada uno de ellos. En el primer cajón hay catalogadas 30 muestras con LDL alto, en el segundo 40 y en el tercero 20. Si se escoge una muestra al azar de un cajón y un cajón al azar y resulta que tiene el LDL normalizado (no alto), ¿de qué cajón es más probable que la muestra proceda? (Sol: a) 0.06; b) 0.3; c) 0.86; d) 0.012; e) 0.2; f) Cajón 3 (0.3810))
Autora: Ana María Lara Porras. Universidad de Granada
Estadística para Biología y Ciencias Ambientales. Tratamiento informático mediante SPSS. Proyecto Sur Ediciones.