Teorema de Bell-Kochen-Specker

(imagen de portada: Cristi Stoica)

Contextualidad: El teorema Bell-Kochen-Specker

mirilla1 Se denomina contextualidad cuántica a la propiedad que poseen algunas variables cuánticas de un sistema (como espín, posición, momento, etc.), según la cual:

  Las predicciones de la teoría sobre los resultados de las medidas de algunos observables (que se agrupan para su medida en distintos subconjuntos compatibles) son inconsistentes con la suposición de que dichas variables poseen valores definidos o pre-existentes: a) con anterioridad a que las medidas se lleven a cabo, y b) independientes de cuáles sean todas las mediciones concretas dispuestas.

-Dichos observables se denominan como “contextuales“.

mirilla1 La propiedad fue establecida de forma teórica en el denominado teorema de Bell-Kochen-Specker, derivado en 1967, de forma independiente, por J.S. Bell, de un lado, y S. Kochen y E. Specker, de otro:

 J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 38 (1966) 447-452; reproducido también en [WHE-83], pp. 396-402.

espiral S. Kochen and E. P. Specker, The problem of hidden variables in Quantum Mechanics; J. Math. Phys. 17 (1967) 59-87.

-En realidad, el teorema puede considerarse como un caso especial del teorema de Gleason (ver más adelante).

mirilla1 Teorema Bell-Kochen-Specker:

flecha “There is no non-contextual model with hidden variables in quantum mechanics”.

mirilla1 En 1993 D. Mermin publicó un artículo en el que revisaba a fondo tanto el teorema de Bell como el de Bell-Kochen-Specker, con la virtud de introducir demostraciones mucho más sencillas (usando sistemas compuestos en vez de un solo sistema individual):

espiral N. D. Mermin, Hidden variables and the two theorems of John Bell, Rev. Mod. Phys. 65 (1993) 803; erratum 985 (2013) 819.

flecha En este caso, a diferencia de la situación EPR-Bell que condujo al abandono del realismo local, no se involucran medidas en dos partes de un sistema en regiones EPR separadas, sino que se refiere en general a medidas compatibles realizadas en una misma región (un observable dado se mide varias veces, como integrante de distintos subconjuntos internamente compatibles, pero que integran sendos observables incompatibles).

espiral Fuentes: La exposición siguiente sigue tanto el artículo antes referido de D. Mermin como el de F. Lalöe, Do we really understand quantum mechanics? Strange correlations, paradoxes, and theorems, American Journal of Physics 69, 6 (2001); pp. 671-672.

mirilla1 Sea una partícula de espín 1 y sea \{|1-1>,|10>,|1+1>\} una base ortonormal del correspondiente Hilbert, compuesta por autofunciones simultáneas de los observables compatibles (\vec{S}^2, S_z) ; se considera el conjunto de observables compatibles dos a dos (S_x^2,S_y^2,S_z^2) (S=1), que satisfacen S_x^2 +S_y^2+S_z^2=2\hbar^2 .

Al ser observables compatibles, podemos concebir una medida simultánea de dichas tres componentes (al cuadrado), sobre cualesquiera tres direcciones ortogonales \{x,y,z\} , medidas que en absoluto pueden hacerse midiendo los tres S_i y elevando al cuadrado (entre otros inconvenientes, como el de encerrar menos información, éstos sí son observables complementarios).

-Supóngase que, hechas las medidas, se asocia un elemento de realidad objetivo al resultado de la medida de S_x^2 , que representaremos por una variable adicional \lambda_x que puede tomar los dos valores 0 o \hbar^2; análogamente y por simetría surgen dos variables adicionales \lambda_y y \lambda_z con el mismo espectro de resultados.

-De entrada, las tres variables dicotómicas \lambda_i , i=x,y,z ) proporcionarían 2^3=8 posibilidades de resultados para los tres operadores, pero la ligadura \lambda_x + \lambda_y +\lambda_z=2\hbar^2 las reduce a tres: quedan eliminadas las combinaciones de valores en que hay o dos variables \lambda_i nulas o las tres iguales.

-Se procede entonces a marcar de rojo las dos direcciones en que las variables \lambda_i y \lambda_j\,,\,j\ne i son no nulas; la restante, \lambda_k\,,\,k\ne i \,,\, k\ne j , nula, se colorea en azul.

-El procedimiento se quiere continuar cambiando la elección de conjunto de tres direcciones ortogonales, y la pregunta que surge es: ¿puede colorearse una dirección arbitraria de un color dado (fijación del valor de la variable \lambda_i correspondiente) con independencia de los colores que tomen los correspondientes dos ejes ortogonales restantes (“el contexto”)?

-Por ejemplo: se fija OZ y se rotan OX y OY alrededor de él: ¿puede OZ conservar su color?

flecha Y lo que demostraron Bell y Kochen&Specker (independientemente) es que la respuesta es negativa: proporcionaron dicho conjunto (el de KS consta de 117 direcciones/observables; Bell no lo hace explícito).

mirilla1 Se trata, en definitiva, de un antiguo problema de geometría:

flecha Planteamiento del clásico problema de Geometríacoloración ternaria de las direcciones de un espacio tridimensional”:

 Localizar un conjunto de direcciones con la propiedad de que sea imposible, usando sólo dos colores, colorearlas todas de tal manera que cada subconjunto de tres direcciones mutuamente ortogonales contenga sólo un eje de un color y dos ejes del otro.

mirilla1 El artículo de Mermin antes referido, tras realizar una exposición general de la prueba original del teorema (ver p. 807), presenta dos nuevas versiones, con demostraciones mucho más fáciles que las originales BKS, debido a que en vez de realizarlas en el espacio tridimensional, las desarrolla en un espacio de 4 dimensiones para un sistema de dos partículas, 9 observables (sección V, p. 810), y 8 dimensiones para un sistema de 3 partículas, 10 observables (sección VI, pp. 810-811; ésta es muy similar al razonamiento GHZ y lo emparenta así con el teorema de Bell):

mirilla2 Prueba en 4 dimensiones: considera dos partículas de espín \frac{1}{2} y los 9 observables dicotómicos \sigma_i^j=\pm 1\;,\;i=x,y,z\;,\;j=1,2 , con sendos autovalores posibles +1 y -1 , dispuestos en una matriz 3×3:

\begin{array}{ccc} \sigma_x^1 & \sigma_x^2 & \sigma_x^1\sigma_x^2 \\ \sigma_y^2 & \sigma_y^1 & \sigma_y^1\sigma_y^2 \\ \sigma_x^1\sigma_y^2 & \sigma_y^1\sigma_x^2 & \sigma_z^1\sigma_z^2 \end{array}

todos ellos de espectro dicotómico con autovalores \pm 1 y satisfaciendo:

a) Cada dos que pertenecen a la misma fila o columna conmutan entre sí.

b) Cada producto de los tres operadores en la misma fila o columna produce +1, excepto el producto de los tres en la última columna, que produce -1 (recuérdese: \sigma_x^j \sigma_y^j=i\sigma_z^j , donde j representa el índice de partícula).

-Es decir, se han sustituido los infinitos tripletes de direcciones en un espacio tridimensional, por seis grupos de tres operadores (3 filas + 3 columnas), sobre los que se plantea el mismo problema: ¿pueden colorearse de rojo (resultado +1) y amarillo (resultado -1) los 9 elementos de la matriz anterior en una forma que sea consistente con las predicciones mecano-cuánticas?

-El caso es que se requiere que cada fila, y cada columna, contenga o tres rojos, o un rojo y dos amarillos, excepto la tercera columna, que ha de contener tres amarillos o sólo uno. Y es imposible encontrar solución entonces.

mirilla2 Prueba en 8 dimensiones: considera tres partículas de espín \frac{1}{2} y los 10 observables dispuestos según:

\begin{array} {ccccccc}.&.&.&P_1=\sigma_y^1&.&.&. \\ P_2=\sigma_x^1\sigma_x^2\sigma_x^3&.&C_1=\sigma_y^1\sigma_y^2\sigma_x^3&.&C_2=\sigma_y^1\sigma_x^2\sigma_y^3&.&P_3=\sigma_x^1\sigma_y^2\sigma_y^3\\ .&C_3=\sigma_x^3&.&.&.&C_4=\sigma_y^3&.\\.&.&.&.&.&.&.\\ .&.&. &C_5=\sigma_x^1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\.&P_4=\sigma_y^2&.&.&.&P_5=\sigma_x^2&. \end{array}

-Se dibuja la siguiente estrella, en la que los cinco puntos P se corresponden con las puntas y los cinco operadores C se corresponden con las intersecciones entre dos lados:

\equiv \begin{array}{ccccccc}.&.&.&P_1&.&.&. \\.&.&.&.&.&.&.\\ P_2&.&C_1&.&C_2&.&P_3\\ .&C_3&.&.&.&C_4&.\\ .&.&. &C_5&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&.\\P_4&.&.&.&.&.&P_5 \end{array}

estrella_Mermin550_Op

Estrella de Mermin.

-Los 10 observables se dividen así en 5 grupos de 4, por prolongación de las 5 líneas de los lados del pentágono que forman los puntos C en la segunda matriz, dibujando así la anterior estrella de 5 puntas P, forzando a que sobre cada línea caigan cuatro operadores.

-Se satisface:
a) Los 4 operadores en cada grupo son compatibles.
b) Cada observable está en dos de esos grupos.
c) El producto de los cuatro operadores en cada grupo, excepto para la horizontal, produce +1.
d) El producto de los cuatro operadores en la línea horizontal (los 4 operadores con tres \sigma ) produce -1.

-Entonces, a partir de las dos últimas condiciones, el producto de todos los operadores, sobre las 5 líneas (los 10 observables), ha de ser -1 .

\Rightarrow Se produce por tanto una inconsistencia, ya que lo anterior es imposible, porque cada observable pertenece a dos de los 5 grupos (líneas), o sea, aparece dos veces en el producto global de todos, aportando un resultado +1 .

mirilla1 Por tanto: suponer que el resultado de la medida de un observable es independiente de qué otros observables (compatibles) se miden simultáneamente con él, la hipótesis de no contextualidad, conduce a la inconsistencia.

 Hipótesis de no-contextualidad: El resultado de la medida de un observable A es el mismo cuando se realiza su medida simultánea con otros observables B, C,…, compatibles con él, sean cuáles sean estos otros operadores (obsérvese que distintas elecciones de conjuntos de operadores a medir simultáneamente con A, todos ellos que conmuten con él, pueden incluir operadores que, estando en distintos conjuntos, no conmutan entre sí).

 Contextualidad cuántica: La consistencia del formalismo hace imposible asumir la hipótesis de no-contextualidad.

mirilla1 Un buen resumen del contenido y significado del teorema:

espiral C. Saulder: Contextuality and the Kochen-Specker TheoremEnciclopedia Stanford de Filosofía: The Kochen-Specker Theorem:

circulo1 Let H be a Hilbert space of QM state vectors of dimension x \ge 3. There is a set M of observables on H, containing y elements, such that the following two assumptions are contradictory:

(KS1) All y members of M simultaneously have values, i.e. are unambiguously mapped onto real numbers (designated, for observables A, B, C,…, by v(A), v(B), v(C),…).

(KS2) Values of observables conform to the following constraints:

(a) If A, B, C are all compatible and C = A+B, then v(C) = v(A)+v(B);

(b) if A, B, C are all compatible and C = A·B, then v(C) = v(A)·v(B).

The heart of statement is much more than a simple theorem about the geometrical structure of the quantum mechanical Hilbert-space. It forbids a certain class of hidden variable theories, that isn’t prohibited by Bell’s theorem by showing that realism and non contextuality cause a contradiction. Furthermore some arithmetic rules for measured values of systems of several observables follow out of the Kochen-Specker theorem.

-Assumption KS1 of the theorem obviously is an equivalent of VD= value definiteness=”All observables defined for a QM system have definite values at all times”.

-Assumptions KS2 (a) and (b) are called the Sum Rule and the Product Rule, respectively, in the literature. (The reader should again note that, in opposition to von Neumann’s implicit premise [ver postulado 4 en teorema de von Neumann, más abajo], these rules non-trivially relate the values of compatible observables only).

-In the original KS proof x=3 and y=117. More recently proofs involving less observables have been given by (among many others) Peres (1991, 1995) for x=3 and y=33, by Kernaghan (1994) for x=4 and y=20 and by Cabello et al. (1996) for x=4 and y=18.

flecha Obsérvese: una hipótesis de VD= Valor definido asume:

circulo1 VD= All observables defined for a QM system have definite values at all times,

mientras que una hipótesis de NC=No Contextualidad establece:

circulo1 NC= “f a QM system possesses a property (value of an observable), then it does so independently of any measurement context, i.e. independently of how that value is eventually measured.

 Ambas hipótesis VD (“determinación del valor”) + NC (“no contextualidad”) vienen a incorporar la idea de la objetividad (clásica) del proceso de medida: la independencia de la realidad física, exterior al observador, respecto al proceso de medida (“independence of physical reality from its being measured”).

espiral Mermin: A Kochen-Specker Theorem for Imprecisely Specified Measurement:

circulo1 Abstract: A recent claim that finite precision in the design of real experiments “nullifies” the impact of the Kochen-Specker theorem, is shown to be unsupportable, because of the continuity of probabilities of measurement outcomes under slight changes in the experimental configuration.

espiral A. Cabello: Comment on “Non-contextual hidden variables and physical measurement”

circulo1 Abstract: Kent’s conclusion that “non-contextual hidden variable theories cannot be excluded by theoretical arguments of the Kochen-Specker type once the imprecision in real world experiments is taken into account” [Phys. Rev. Lett. 83, 3755 (1999)], is criticized. The Kochen-Specker theorem just points out that it is impossible even conceive a hidden variable model in which the outcomes of all measurements are pre-determined; it does not matter if these measurements are performed or not, or even if these measurements can be achieved only with finite precision.

El teorema BKS y los teoremas anteriores de imposibilidad de VO

mirilla1 Desde 1932, el teorema de imposibilidad de VO de von Neumann, demostrado en su texto fundacional:

espiral J. von Neumann, J., Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlín, 1932; Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princenton Univ., Princenton, 1955; Fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica, C.S.I.C., Madrid, 1991,

había abordado, y descartado, la posibilidad de construir una teoría de VO que permitiera una descripción más completa y profunda que la Mecánica Cuántica.

-Desde el abandono del determinismo, ése es un anhelo que no ha desaparecido nunca. En cita del filósofo Adler de 1992, recogida también por Mermin en el artículo antes indicado:

espiral M.J. Adler, Natural Theology, Chance, and God:

circulo1 Most theoretical physicists are guilty of… fail[ing] to distinguish between a measurable indeterminacy and the epistemic indeterminability of what is in reality determinate. The indeterminacy discovered by physical measurements of subatomic phenomena simply tell us that we cannot know the definite position and velocity of an electron at one instant of time. It does not tell us that the electron, at any instant of time, does not have a definite position and velocity. [Physicists] (…) convert what is not measurable by them into the unreal and the nonexistent.

mirilla1 Estructura del teorema de von Neumann:

espiral [ICA-91]: J.J. Icaza; La construcción de la Mecánica Cuántica, Univ. del País Vasco, Bilbao, 1991, pp. 238ss.

1. Premisas:

-Postulado 1: Si un observable es representado por el operador P, entonces una función f de ese observable es representado por f(P).

-Postulado 2: Si se consideran observables representados por los operadores P,S,…, entonces la suma de observables se representa por la suma de operadores P+S+…, conmuten o no entre sí dichos operadores.

-Postulado 3: Si la magnitud P es no-negativa, entonces el observable P es positivo (<P> \ge 0 ).

Postulado 4 (sobre el que Bell dirigirá su crítica): Se establece un isomorfismo entre la estructura de espacio vectorial de los observables cuánticos y la de los observables de la teoría de V.O., de forma que se tiene que si P,Q,…, son observables arbitrarios y a, b,…€ R, entonces
<aP + bQ + …> = a<P> + b<Q> + …

2. Conclusión:

 No existen estados libres de dispersión \Rightarrow No es posible una descripción con V.O.

mirilla1 En otras palabras:

espiral Cf. [GAL-89], vol. I, pp. 459-460:

circulo1 El aspecto estocástico de la M.C. no puede reproducirse bajo la hipótesis de que existen unos parámetros cuyo conocimiento fije un microestado de un sistema, libre de dispersión para todo observable y en términos de los cuales un estado cuántico puro ordinario \Psi no sea más que un macroestado mezcla incoherente de aquéllos.

Partiendo del contexto ordinario de la M.C., en que los observables se identifican con los operadores autoadjuntos de un espacio de Hilbert complejo y separable, y los estados cuánticos convencionales son simplemente funcionales lineales positivos sobre los observables acotados, y haciendo la hipótesis de que los microestados o estados libres de dispersión son igualmente funcionales lineales positivos sobre los observables acotados, se concluye que no existen estados libres de dispersión o microestados, o sea, que no es posible una descripción por V.O.

mirilla1 La autoridad de von Neumann era tan considerable y considerada que, durante dos décadas, tras la publicación de su teorema, las V.O. fueron abandonadas como tema de investigación. Dos ejemplos ilustrativos:

1. Cuando en 1952 Bohm publicó su teoría de V.O., fue completamente ignorada, a pesar de que su mera existencia como teoría de V.O. determinista (no local) capaz de reproducir los resultados de la M.C. (no relativista) debiera haber suscitado la atención, al menos sobre cómo era posible su misma existencia.

2. Bell ha narrado como, atraído fuertemente por el argumento EPR y la posibilidad relacionada de elaborar una descripción teórica más completa que la de la M.C., en cuanto tuvo conocimiento de que von Neumann había demostrado su imposibilidad abandonó el tema. Posteriormente, sin embargo, “al ver lo imposible realizado”, decidió analizar cómo era posible, es decir, analizar la posibilidad de que el teorema de von Neumann fuera erróneo.

espiral J.S. Bell, On the impossible pilot wave, Foundations of Physics, 12 (1982) 989-999.

mirilla1 Existen otros teoremas de imposibilidad además del de von Neumann. Entre ellos, con parecidas consecuencias negativas para las V.O., pueden citarse como más conocidos el de Jauch y Piron,

espiral J.M. Jauch and C. Piron, Helv. Phys. Acta 36 (1963) 827,

y el de Gleason,

espiral A.M. Gleason, J. Math. Mech., 6 (1957) 885,

este último considerado en su momento como definitivo:

Fuentehttp://www.fisicafundamental.net/misterios/bell.html#gleason:

mirilla1 Teorema de Gleason:

circulo1 Si P_{a} es un proyector que proyecta sobre un cierto |\psi_a>\equiv |a> (podemos pensar en P_{a} como |a><a| o como una cierta expansión \sum_{\alpha} |a,\alpha><a,\alpha| ) y \rho es un estado mezcla arbitrario (un estado puro \rho=|\Psi><\Psi| o una mezcla estadística \sum_i |\Psi_i>p_i<\Psi_i| , con 0 \le p_i \le 1\,\,, \sum_i p_i=1 ), la única función posible que define la probabilidad de obtener el resultado r es esencialmente Prob(a)=Tr(P_a\rho) .

circulo1 Como la función Prob(a) es continua sobre la esfera unidad como función de \rho , es imposible que adopte los valores 0 y 1 sobre la misma. Con la esfera unidad aquí nos referimos a una esfera de estados de espín, es decir, a todos los |\Psi> tales que \rho=|\Psi><\Psi| en la ecuación anterior, y donde \vec{\sigma} \cdot \vec{n}|\Psi>=\pm \Psi> , y \vec{n} es una dirección arbitraria sobre la 2-esfera espacial de radio 1. Una función continua sobre este conjunto no puede tomar los valores 0 y 1 sin tomar todos los valores intermedios posibles.

circulo1 La consecuencia de esto es que es imposible resolver todas las proposiciones de espín posibles con unas variables deterministas adicionales que fijen sus valores. Podríamos decir que este es un teorema de tipo ontológico: los valores definidos del espín no pueden ser la imagen o recorrido de un cierto conjunto matemático en una correspondencia punto a punto.

-Difieren del de von Neumann, esencialmente, en que relajan el postulado 4, exigiéndolo sólo para operadores que conmutan, y añaden hipótesis varias sobre valores esperados de determinados proyectores, hipótesis cuya validez, siendo clara para los estados de la M.C., es también supuesta para los microestados.

El teorema BKS, de hecho, es considerado un caso especial del de Gleason.

mirilla1 En 1966 Bell publicó un artículo en que exponía un resultado fundamental, que de hecho había demostrado antes que su célebre teorema de 1964, aunque lo publicara después:

espiral J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics, Reviews of Modern Physics 38 (1966) 447-452.

-En la introducción de este artículo, Bell afirmaba que, aunque los teoremas de imposibilidad eran mayoritariamente considerados hasta entonces como universales e invulnerables,

circulo1 La conciencia de que la prueba de von Neumann es de relevancia limitadada ha ido ganando terreno desde el trabajo de Bohm de 1952. Sin embargo, se halla lejos de ser universal. Además, quien escribe no ha encontrado en la literatura ningún análisis de qué era incorrecto en dicha prueba.

-Además, Bell señalaba la existencia de un debate sobre si la cuestión de las V.O. es interesante o no. Pero él, nos dice, no se propone contribuir a tal debate, sino sólo “clarificar lo que realmente demostraron von Neumann y sus continuadores“, haciendo hincapié en que esos análisis “dejan intacta la cuestión real“.

-Nota: sin embargo, ya en 1935, según señaló M. Jammer ([JAM-74], p.273), G. Herman había criticado la prueba de imposibilidad de VO de von Neumann, aunque su trabajo fue ignorado.

-Esencialmente, en su trabajo Bell señala el postulado 4 como inaceptable para los microestados (los estados que, incorporando las VO, refinan la predicción cuántica), en concreto:

flecha Contra von Neumann: El hecho de que el valor esperado de una combinación lineal de observables sea la combinación lineal de los valores esperados de los correspondientes valores esperados, cierto para los estados cuánticos, no tiene por qué requerirse para los microestados. Es decir: si C=A+B, y [A,B]=0 , entonces sí se puede requerir a los valores v asignados a dichos observables que v(C)=v(A)+v(B), pero cuando A y B no conmutan, caso en el que, de hecho, mecano-cuánticamente no se pueden medir simultáneamente, es absurdo imponer el mismo requisito.

flecha Contra von Neumann y Gleason: Para los microestados, los valores esperados de los observables pueden depender no sólo del observable a medir, sino también del aparato particular, es decir, del montaje experimental concreto, con el que se va a realizar la medición (i.e.: de qué otros observables se decide medir también): la denominada contextualidad cuántica.

 Es decir, Bell establece que los teoremas de von Neumann (1932), Gleason y similares, anteriores al suyo de 1964, lo que fijaron fue sólo que:

  “Existe un tipo de V.O. inconsistentes con las predicciones de la Mecánica Cuántica: las V.O. no-contextuales” (que son todas locales, aunque puede haber también VO locales que sean contextuales; sobre tipos de variables ocultas ver el apartado Tipología de VO).

flecha Mientras que su teorema de 1964 vendría a establecer que:

  Las V.O. locales, todas, son inconsistentes con la M.C.

mirilla1 En otras palabras:

espiral http://www.fisicafundamental.net/misterios/bell.html:

circulo1 Así como el teorema de Bell se interpreta como la demostración de que no es posible la coexistencia del realismo local con la MC, el teorema de [Bell-]Kochen-Specker se interpreta como la demostración de que no es posible la coexistencia del realismo no contextual o intrínseco, si se quiere, con la MC. En otras palabras: Hay ciertos observables en el espacio interno del espín que, aun siendo compatibles, no pueden tener definitud simultánea; no pueden por tanto considerarse propiedades intrínsecas del sistema.

 Es imposible que una teoría de Variables Ocultas no contextuales sea predictivamente equivalente a la Mecánica Cuántica.

mirilla1 Para la demostración de A. Cabello, récord en la utilización del más pequeño número de observables:

espiral A. Cabello, Bell-Kochen-Specker for any finite dimension n \ge 3 .

 A. Cabello, Los experimentos no realizados no tienen resultados, Investigación y Ciencia, Temas 10, 1997, pp. 65-67.

Bibliografía

-[GAL-89]: A. Galindo y P. Pascual; Mecánica Cuántica, Eudema, Madrid, 1989.

-[ICA-91]: J.J. Icaza; La construcción de la Mecánica Cuántica, Univ. del País Vasco, Bilbao, 1991.

-[JAM-74] Jammer, M.; The philosophy of Quantum Mechanics,Wiley, 1974.

-A. Cabello, Los experimentos no realizados no tienen resultados, Investigación y Ciencia, Temas 10, 1997, pp. 65-67.

-A. Cabello, Bell-Kochen-Specker for any finite dimension n \ge 3

-A. Cabello: A Proof with 18 Vectors of the Bell-Kochen-Specker Theorem

-A. Cabello: A State-Specific Proof of the Bell-Kochen-Specker Theorem Using Only 5 Propositions

-A. Cabello: Tesis doctoral: Pruebas algebraicas de imposibilidad de variables ocultas en mecánica cuántica.

-A. Cassinello and A. Gallego, The quantum mechanical picture of the world, American Journal of Physics 73, 3 (2005); pp. 273-281.

-S. Kochen, E. Specker, The Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics, Indiana Univ. Math. J. 17 No. 1 (1968) 59?87.

-C. Saulder: Contextuality and the Kochen-Specker Theorem.

-Straumann: A simple proof of the BKS theorem

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