Heinz proved in 1952 that there is no harmonic diffeomorphism from a disk onto the complex plane (with the euclidean metric). Collin and Rosenberg constructed in 2010 harmonic diffeomorphisms from the complex plane onto the hyperbolic plane, disproving a conjecture by Schoen and Yau. In a joint work with Laurent Mazet and Harold Rosenberg we prove: Given any hyperbolic complete surface $S$ of finite topology and infinite area, there exists a parabolic complete surface $\hat S$ (it is nothing but $S$ with a parabolic conformal structure) and a harmonic diffeomorphism from $\hat S$ to $S$.

Colding y Minicozzi generalizaron la conjetura de Calabi-Yau en $\mathbb{R}^3$ y probaron que una superficie mínima, completa, embebida y con topología finita en $\mathbb{R}^3$ ha de ser propia. Coskunuzer probó que este resultado no es cierto en $\mathbb{H}^3$. En esta charla explicaré la sencilla construcción de un contraejemplo a este resultado de Colding-Minicozzi en $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, siguiendo una técnica completamente distinta a la usada por Coskunuzer en $\mathbb{H}^3$. Éste es un trabajo conjunto con Giuseppe Tinaglia.

Para cada k ≥ 1, construimos superficies mínimas propiamente embebidas en H²xR con género cero, infinitos finales asintóticos a planos geodésicos verticales y k finales límite. Dichas superficies se obtienen por conjugación a partir de ciertos grafos de Jenkins-Serrin en H²xR.

En este trabajo conjunto con Laurent Mazet y Harold Rosenberg, encontramos condiciones necesarias y suficientes para la existencia de solución del problema de Dirichlet en dominios de tipo Jenkins-Serrin generales de H2xR para valores frontera continuos a trozos arbitrarios (posiblemente $pminfty$), y estudiamos la unicidad de dicha solución. Estos dominios no son necesariamente simplemente conexos ni acotados, y su frontera está formada por un número finito de curvas convexas respecto al dominio.