Seminario de jóvenes investigadores en Matemáticas


Detalles de Evento


Título: Análisis blow-up para soluciones de ecuaciones de tipo Liouville
Impartida por: Rafael López Soriano (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada)
Abstract: En esta charla se propone estudiar la compacidad de soluciones de ecuaciones de tipo Liouville. Sea $\Sigma$ una superfice compacta equipada con una méetrica $g$, consideramos el siguiente problema $$(1)\quad -\Delta_g u = \lambda \left(\frac{Ke^u}{\int_{\Sigma} Ke^u dV_g} -1 \right) \mbox{ en $\Sigma$}$$ donde $\Delta_g$ es el operador de Laplace-Beltrami, $\lambda>0$, $Vol_g(\Sigma)=\int_{\Sigma} 1 dV_g=1$ y $K$ una función definida en $\Sigma$. Cabe destacar que además de un interés físico, la ecuación (1) aparece en un problema de geometría clásico: el problema de la curvatura Gaussiana prescrita. Sea $\{u_n\}$ una sucesión de soluciones de (1) y $\lambda_n\to\lambda>0$, asumiendo que $K>0$ es una función positiva, veremos que [1,2] establecen que existe una subsucesión $\{u_{n_k} \}$ que verifica una de las siguientes alternativas:
  1. $u_{n_k}$ es uniformemente acotada superiormente en $\Sigma$ ;
  2. $\displaystyle{\max_{\Sigma} \left( u_{n_k}-\int_{\Sigma}Ke^{u_{n_k}} \right)} \to + \infty$ y existe un conjunto finito (de blow-up) $S=\{x_1,\dots ,x_m\} \subset \Sigma $ tal que: a) $u_{n_k}(x_{l,n}) \to +\infty $ con $x_{l,n}\to x_l \in S$ y $u_{n_k} \to - \infty$ uniformemente en conjuntos compactos de $\Sigma \setminus S$; b) $\displaystyle{\lambda_{n_k} \frac{Ke^{u_{n_k}}}{\int_{\Sigma} Ke^{u_{n_k}} dV_g} \rightarrow \sum_{j=1}^m \beta_j \delta_{x_j}}$ débilmente en el sentido de las medidas, con $\beta_j=8n_j\pi$ con $n_j\in \mathbb{N}$.
[1] H. Brezis, F. Merle, Uniform estimates and blow--up behavior for solutions of $-\Delta u =V(x)e^{u}$ in two dimensions, Comm. Partial Differential Equations 16, (1991), 1223--1253.   [2] Y.Y. Li, I. Shafrir, Blow--up analysis for solutions of $-\Delta u=Ve^u$ in dimension two, Indiana Univ. Math. J. 43 (1994), no. 4, 1255–-1270.
16 de noviembre de 2015, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR
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