Seminario de Jóvenes Investigadores en Matemáticas


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Título: Estabilidad de un vórtice puntual bajo una perturbación periódica
Impartida por: Víctor Ortega (Universidad de Granada)
Resumen: Tras introducir algunas herramientas de la teoría de sistemas dinámicos, especialmente de la teoría KAM, en esta charla presentaré un resultado de estabilidad de un sistema hamiltoniano periódico en el plano con una singularidad. En un fluido perfecto, un vórtice puntual es esencialmente una singularidad de la vorticidad, y puede ser modelado por el Hamiltoniano $\Psi_0(x,y) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$ siendo $x$ e $y$ las coordenadas cartesianas en el plano. El sistema asociado es integrable, con las partículas rotando alrededor del vórtice en trayectorias circulares y el origen es estable. Si introducimos una perturbación periódica $p(t,x,y)$, el correspondiente sistema hamiltoniano es:

\begin{equation*} \left\lbrace \begin{array}{lr} \dot{x}= \frac{y}{x^2+y^2} + \partial_y p(t,x,y) & \\ & \qquad(x,y)\in \, \mathcal{U}\setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\ \dot{y}=-\, \frac{x}{x^2+y^2} - \partial_x p(t,x,y) &\end{array} \right. \end{equation*}

donde $\mathcal{U}$ es un entorno del origen.

Este sistema modela idealmente el transporte pasivo de una partícula en un fluido sujeto a la acción conjunta de un flujo periódico y un vórtice estacionario situado en el origen. Veremos qué hipótesis hay que pedir a la perturbación para preservar la estabilidad del origen.
En este contexto, la aplicación del teorema twist de Moser nos permite encontrar una familia de curvas invariantes por la aplicación de Poincaré del sistema.
Esto resulta importante ya que dichas curvas rodean el origen y actuarán como barreras para las soluciones; por tanto, quedará garantizada la estabilidad del origen.