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Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

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Problema 431★★☆☆☆
En un cuadrado $ABCD$ se traza una circunferencia que pasa por el vértice $A$ y por los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$. Determinar si es mayor la longitud de la circunferencia o el perímetro del cuadrado.
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Problema 430★★★☆☆
Sea $n$ un número natural. Demostrar que la suma de todas las fracciones $\frac{1}{pq}$, donde $p$ y $q$ son primos relativos tales que $1\leq p\lt q\leq n$ y $p+q\gt n$, es igual a $\frac{1}{2}$.
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All-Soviet-Union Competition, 1969 problema 5
Problema 429★★★☆☆
Demostrar que si $x,y,z\in\mathbb{R}$ son números reales tales que $x+y+z=4$, entonces \[\frac{xyz}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}}\leq\frac{64}{125}.\]
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Problema 428★★☆☆☆
Hallar todas las formas de expresar $2003$ como la suma de los cuadrados de dos números enteros.
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2004 problema 9
Problema 427★★☆☆☆
Demostrar que si $-1\lt x\lt 1$ y $-1\lt y\lt 1$, entonces \[\left|\frac{x-y}{1-xy}\right|\leq\frac{|x|+|y|}{1+|xy|}.\]
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2004 problema 7
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