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Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
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Problema 506★★★☆☆
Sea $ABC$ un triángulo y sea $L$ la recta que pasa por $C$ y es paralela al lado $AB$. Supongamos que la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en $D$ y a la recta $L$ en $E$ y que la bisectriz interior del ángulo $B$ corta al lado $AC$ en $F$ y a la recta $L$ en $G$. Demostrar que si $FG=DE$, entonces $AC=BC$.
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IMO shortlist, 1990 problema 12
Problema 505★★☆☆☆
Encontrar todos los enteros positivos $a,b,c\geq 1$ tales que $2^a+7^b=c^2+4$.
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2023 problema 6
Problema 504★★★☆☆
Los inversos de los números enteros positivos de $2$ a $2023$ se escriben en una pizarra. En cada paso, se seleccionan dos números $x$ e $y$ y se reemplazan con el número \[\frac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}.\] Este proceso se repite $2021$ veces hasta que solo queda un número. ¿Cuáles son los posibles valores de este número?
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2023 problema 5
Problema 503★★☆☆☆
Consideremos un paralelogramo $ABCD$. Una circunferencia $\Gamma$ que pasa por el punto $A$ corta a los lados $AB$ y $AD$ por segunda vez en los puntos $E$ y $F$, respectivamente, y a la diagonal $AC$ en el punto $G$. Las prolongaciones de $FG$ y $BC$ se cortan en $H$ y las prolongaciones de $EG$ y $CD$ se cortan en $I$. Demostrar que la recta $HI$ es paralela a $EF$.
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2023 problema 4
Problema 502★★★☆☆
  1. Probar que si una terna de números positivos $(a,b,c)$ verifica el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a^2+a=b^2,\\b^2+b=c^2,\\c^2+c=a^2,\end{array}\right.\] entonces $(a-b)(b-c)(c-a)=1$.
  2. Supongamos que $A_1A_2\ldots A_9$ es un eneágono regular tal que \[A_1A_4=1,\qquad A_1A_2=a,\qquad A_1A_3=b,\qquad A_1A_5=c.\] Probar que la terna $(a,b,-c)$ cumple el sistema del apartado anterior.
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Olimpiada Matemática Española (fase local), 2023 problema 3
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