Longitud y área (I): Arquímedes

A menudo nos encontramos con el problema de estimar la longitud de una curva o el área de una superficie. En el caso de la longitud de una curva, vimos en clase que esta magnitud puede definirse mediante un proceso de paso al límite, aproximando la curva por poligonales inscritas cada vez más «próximas» a ésta. Es razonable pensar que el área de una superficie también pueda definirse mediante sucesivas aproximaciones de la superficie por superficies poliédricas, para las que será más fácil desarrollar una fórmula que exprese el área. Curiosamente, este proceso de aproximación no lleva siempre al resultado correcto. En esta entrada y en la siguiente veremos algunos aspectos de este problema, que ya fue considerado en la Grecia antigua por matemáticos como Arquímedes. Y de paso, veremos algunos aspectos históricos y curiosos.

ARQUIMEDES
Arquímedes (287-212 A.C.) fue hijo del astrónomo Fidias, quien le indujo el interés científico por explicar la naturaleza que nos rodea. Además de matemático, Arquímedes fue un notable físico, ingeniero y científico, quizás el más sobresaliente de la antigüedad. Son famosos algunos de sus inventos:

  • La catapulta y el sistema de espejos y lentes usados contra los romanos en la defensa del asedio de Siracusa. Quizás el gran éxito de estos sistemas defensivos (el segundo reflejaba la luz del sol dificultando la puntería de los romanos) supuso el final de Arquímedes: los habitantes de Siracusa, ante el éxito de los artilugios defensivos ideados por Arquímedes, relajaron la vigilancia de la ciudad, que fue tomada al asalto por los romanos. Arquímedes murió en este asalto, y nos han llegado dos leyendas sobre su muerte; en una de ellas, Arquímedes es situado en sus aposentos cuando los romanos entraron en medio del estruendo propio del asalto. Arquímedes, absorto en sus investigaciones, no hizo caso de las órdenes romanas y fue asesinado allí mismo. En la otra versión, Arquímedes estaba en la playa realizando cálculos geométricos cuando los romanos irrumpieron en ella y los destruyeron; el matemático se enfrentó a los militares romanos por ese motivo, lo que le supuso la muerte. Se dice que sus últimas palabras fueron «no molestes a mis círculos»).
  • La polea compuesta y el tornillo que lleva su nombre (este artilugio permite elevar agua mediante una superficie de tipo helicoidal que gira alrededor de un eje; puede verse uno de estos tornillos de Arquímedes aquí o en el Parque de las Ciencias de Granada).
  • La palanca (es famosa la frase de Arquímedes «dadme un punto de apoyo y moveré el mundo», en referencia a este útil invento) y el Principio de Hidrostática: «un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja».

Pero Arquímedes prefería, por encima de otras disciplinas, la Matemática y en particular la Geometría, hasta reflejarla en su epitafio, que representaba un cilindro circunscrito a una esfera. Entre los logros matemáticos de Arquímedes podemos resaltar los siguientes:

  1. Aproximación de \(\pi \) o más concretamente, de la razón \(L/d\), donde \(L\) es la longitud de la circunferencia y \(d\) su diámetro: Inscribiendo una circunferencia en un cuadrado y comparando longitudes deducimos que \(L \lt 4d\). Inscribiendo un hexágono regular en la misma circunferencia obtendremos \(3d \lt L\). Uniendo ambas desigualdades se obtiene \(3 \lt \pi \lt 4\). Usando aproximaciones de la circunferencia por otros polígonos regulares de más lados (¡ hasta 96 !), Arquímedes probó rigurosamente que
    $$
    3,1408 \sim 223/71 \lt \pi \lt 22/7\sim 3,1428
    $$
    (¡ un error menor que una milésima !). En este razonamiento encontramos algo que comentábamos arriba: la aproximación de la longitud de una curva por longitudes de poligonales convexas con los mismos extremos.
  2. Cuadratura de la parábola: Una sección de parábola \(R\) (encerrada por una cuerda de ésta y un segmento perpendicular al eje de la parábola) excede en un tercio al área del triángulo \(T\) de igual base que \(R\) y cuyo vértice es el de la parábola, es decir:
    $$
    3 \mbox{ Area}(R) = 4 \mbox{ Area} (T).
    $$
  3. El área de una esfera es el cuádruple del área de su círculo máximo (o en lenguaje moderno, \(4\pi R^2\) donde \(R\) es el radio).
  4. El volumen de una media esfera de radio \(R\) sumado con el volumen del cono de vértice el centro de la esfera, radio \(R\) y altura \(R\), es igual al volumen del cilindro de radio \(R\) y altura \(R\) (el razonamiento de Arquímedes era un precedente del teorema de Fubini, ya que relacionó las áreas de las secciones de los tres cuerpos mediante planos paralelos a la base del cilindro, de altura variable \(d\) entre \(0\) y \(R\)):
    semiesfera-arq
  5. Su teorema favorito (hizo grabarlo en su tumba como epitafio): El volumen encerrado por una esfera de radio \(r\) es \(2/3\) del volumen encerrado por el cilindro circunscrito, es decir, de radio \(r\) y altura \(2r\). Si cambiamos volumen encerrado por área, la ecuación que relaciona ambas áreas es exactamente la misma.
    esfera-cilindro

A la vista de los resultados anteriores, podemos concluir que Arquímedes estaba muy interesado en la geometría, y más particularmente, en longitudes, áreas y volúmenes. A continuación reproducimos un pasaje de uno de sus libros, «Sobre la esfera y el cilindro», donde puede admirarse el rigor en la exposición y conceptos, así como una primera aproximación al concepto de longitud de una curva y área de una superficie mediante aproximación por poligonales o superficies poliédricas convexas, con lo que volvemos al tema del principio de esta entrada. Es de resaltar el detalle de que Arquímedes sólo considera aproximaciones convexas, en un alarde de perspicacia. Más adelante veremos más sobre esto.

«Sobre la esfera y el cilindro»

Arquímedes a Dosifeo, ¡salud! De las proposiciones que había estudiado redacté y te envié antes con su demostración la de que todo segmento comprendido por una recta y una parábola es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base y la misma altura que el segmento.

Como después se me ocurrieron teoremas dignos de mención, me he estado ocupando en sus demostraciones. Y son éstos: primero, que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los que hay en ella, luego que la superficie de todo casquete esférico es igual a la del círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete a la circunferencia del círculo que sirve de base al casquete; además de éstos, que en toda esfera, el cilindro que tiene su base igual al círculo máximo de los de la esfera y una altura igual al diámetro de la esfera, es, el mismo, una vez y media la esfera y su superficie una vez y media la de la esfera.

Estas propiedades de las figuras mencionadas existían desde antes en la naturaleza, pero eran desconocidas por quienes se dedicaron a la geometría antes que nosotros, porque a ninguno se le ocurrió que hubiera una conmensurabilidad entre estas figuras. Por ello yo no dudaría en comparar estas proposiciones con las estudiadas por otros geómetras y entre ellas, con las de Eudoxo relativas a los cuerpos sólidos, que parecen tan sobresalientes: la de que toda pirámide es un tercio del prisma que tiene la misma base que la pirámide e igual altura, y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cono e igual altura.

Aunque por naturaleza estas figuras tenían desde antes estas propiedades y aunque habían existido antes de Euxodo muchos geómetras dignos de mención, ocurrió que fueron ignoradas por todos y que ninguno cayó en la cuenta. Quienes estén capacitados podrán examinarlas. Hubiera yo debido publicarlas en vida de Conón, pues le consideraba especialmente capaz de meditar sobre ellas y emitir un juicio adecuado; considerando que es conveniente comunicarlas a los familiarizados con las matemáticas, he redactado para enviártelas las demostraciones sobre las que podrán investigar quienes se dedican a las matemáticas.
Que sigas bien.

Van primero las definiciones y postulados para las demostraciones.

1. Definiciones: En el plano hay algunas líneas curvas finitas que o bien están enteras por el mismo lado de las rectas que unen sus extremos o bien no tienen ningún punto por el otro lado. Llamo cóncava por el mismo lado a una línea tal que si en ella tomamos dos puntos cualesquiera, las rectas entre esos puntos o bien caen enteras hacia el mismo lado de la línea o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia línea, pero ninguna hacia el otro lado.

Igualmente existen también superficies finitas que no están situadas ellas mismas en un plano, pero tienen sus extremos en un plano, las cuales estarán o bien enteras hacia el mismo lado del plano en el que tienen sus extremos o bien no tendrán ninguna parte hacia el otro lado. Y llamo cóncavas hacia el mismo lado a superficies tales que, si se toman dos puntos en ellas, las rectas entre esos puntos caen o bien enteras hacia el mismo lado de la superficie o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia superficie, pero ninguna hacia el otro lado.

2. Postulados: Postulo lo siguiente:
De la línea que tiene los mimos extremos, la recta es la más corta. De las otras líneas, si estando en un plano tienen los mismos extremos, tales líneas son desiguales, siempre que ambas sean cóncavas hacia el mismo lado y o bien una de ellas esté completamente comprendida por la otra y la recta que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte esté comprendida y otra parte sea común; y la línea comprendida es menor.

De modo semejante, de las superficies que tienen los mismos extremos, si tienen los extremos en un plano, la menor es el plano. De las otras superficies que también tienen los mismos extremos, si los extremos están en un plano, tales superficies son desiguales, puesto que si ambas superficies fueran cóncavas hacia el mismo lado, o bien una superficie estará comprendida entera por la otra y por el plano que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte estará comprendida y otra la tendrá en común; y la superficie comprendida será menor.


Hemos visto cómo Arquímedes parece indicar que el cálculo de la longitud de una curva o del área de una superficie podemos usar aproximaciones poligonales o poliédricas convexas. En el caso de una curva, pueden usarse aproximaciones poligonales cualesquiera, pero tal generalidad no se extiende al cálculo de áreas de superficies, como pondrá de manifiesto la Paradoja de Schwarz, que veremos en la siguiente entrada.

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