Ejercicio Propuesto 6
En 5 zonas de la provincia de Granada (Ladihonda y Fazares, zonas muy secas y
Cortijuela, Molinillo y Fardes, zonas húmedas) se hacen una serie de mediciones sobre
las hojas de las encinas a lo largo de 3 años consecutivos: 1995, muy seco y 1996 y 1997,
muy lluviosos.
El objetivo es medir la simetría fluctuante en dichas hojas como indicador de stress en la
planta. Bajo condiciones de stress (sequía, herbivoría, limitación por nutrientes...), la
hipótesis es que la asimetría aumente. Contamos con la siguiente información:
Localización árboles: 5 zonas, dos en zonas muy secas (Hoya Guadix-Baza,
Ladihonda y Fazares) y tres en zonas con mayor precipitación (Cortijuela, Molinillo,
Fardes). En esta última, Fardes, son árboles situados en la ladera de un río
(presumiblemente poco afectados por años más o menos secos).
Años de climatología diferente: 1995 año muy seco y años 1996 y 1997, años muy
lluviosos.
Situación de la hoja: Canopy (copa de los árboles) y Sprouts (rebrotes, hojas nuevas
que salen desde la parte inferior del tronco).
Disponemos de un total de 2101 casos, cedidos por el Departamento de Ecología de la
Universidad de Granada (España), de los que hemos seleccionado aleatoriamente una
muestra de tamaño 15 que se presenta en la siguiente tabla:
Zona
Parte
Año
Longitud
Asimetría
Cortijuela
Canopy
1995
26,51
0,028
Cortijuela
Canopy
1996
30,17
0,010
Molinillo
Canopy
1995
34,24
0,080
Molinillo
Canopy
1996
31,04
0,340
Molinillo
Canopy
1996
34,99
0,087
Fardes
Canopy
1995
30,48
0,040
Fardes
Canopy
1996
25,07
0,010
Ladihonda
Canopy
1995
25,04
0,021
Ladihonda
Canopy
1996
29,16
0,135
Fazares
Canopy
1995
35,12
0,010
Fazares
Canopy
1996
25,41
0,094
Fazares
Canopy
1996
27,02
0,153
Cortijuela
Sprouts
1995
23,04
0,156
Fazares
Sprouts
1995
27,69
0,172
Fazares
Sprouts
1996
34,71
0,077
Se pide:
a) ¿Se puede admitir que la longitud de las hojas de encina se distribuye normalmente?
b) ¿Se puede admitir que la longitud media de las hojas es igual a 30 cm a un nivel de
significación del 5%? (Suponiendo que la varianza es conocida)
c) Suponiendo que la asimetría de las hojas sigan una distribución Normal; comprobar
mediante un contraste de hipótesis si existen diferencias significativas en la asimetría de
las hojas teniendo en cuenta la situación de la hoja en el árbol.
d) A un nivel de significación del 5%, ¿es representativo el ajuste lineal entre la longitud
y la asimetría? ¿Cuál sería la expresión del modelo? ¿Cuánto explica el modelo?
Solución
a) ¿Se puede admitir que la longitud de las hojas de encina se distribuye normalmente?
Introducimos los datos en R
> longitud <- c(26.51,30.17, 34.24, 31.04, 34.99, 30.48, 25.07, 25.04, 29.16,35.12, 25.41,
27.02, 23.04, 27.69, 34.71)
Calculamos la media y la desviación típica
> mean(longitud)
[1] 29.31267
> sd(longitud)
[1] 4.062451
Se contrasta la normalidad mediante el contraste de Kolmogorov-Smirnov.
> ks.test(longitud, y = pnorm, 29.31267, 4.062451, alternative = "two.sided")
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: longitud
D = 0.15408, p-value = 0.8173
alternative hypothesis: two-sided
Mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov obtenemos que el p-valor es 0.8173, mayor
que el nivel de significación 0.05, por lo tanto no se puede rechazar la hipótesis nula y
admitimos que la longitud de las hojas sigue una distribución Normal.
b) ¿Se puede admitir que la longitud media de las hojas es igual a 30 cm a un nivel de
significación del 5%? (Suponiendo que la varianza es conocida)
Nos piden el siguiente contraste de hipótesis
> t.test(longitud, alternative = "two.sided", mu = 30, conf.level = 0.95)
One Sample t-test
data: longitud
t = -0.65528, df = 14, p-value = 0.5229
alternative hypothesis: true mean is not equal to 30
95 percent confidence interval:
27.06296 31.56238
sample estimates:
mean of x
29.31267
El valor del nivel crítico o p-valor (Sig. (bilateral)) es 0.5229, mayor que el nivel de
significación 0.05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula y admitimos que la longitud
media de las hojas de encina es igual a 30 cm.
c) Suponiendo que la asimetría de las hojas sigan una distribución Normal; comprobar
mediante un contraste de hipótesis si existen diferencias significativas en la asimetría de
las hojas teniendo en cuenta la situación de la hoja en el árbol.
> asimetriaCanopy<- c(0.028, 0.010, 0.080, 0.340, 0.087, 0.040, 0.010, 0.021, 0.135,
0.010, 0.094, 0.153)
> asimetriaSprouts<- c(0.156, 0.172, 0.077)
Para poder realizar el contraste de igualdad de medias de dos poblaciones independientes
es necesario contrastar previamente la igualdad de varianzas.
donde
representa la varianza de la asimetría en el Canopy y
representa la varianza
de la asimetría en el Sprouts.
> var.test(asimetriaCanopy, asimetriaSprouts, alternative = "two.sided",
conf.level = 0.95)
F test to compare two variances
data: asimetriaCanopy and asimetriaSprouts
F = 3.4611, num df = 11, denom df = 2, p-value = 0.4908
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.08782899 18.19106196
sample estimates:
ratio of variances
3.461082
Analizando la información relativa al contraste de hipótesis que se incluye en la salida de
var.test, vemos que el valor del estadístico de contraste es 3.4611. La distribución F de
Snedecor que sigue el estadístico de contraste tiene 11 grados de libertad en el numerador
y 2 en el denominador. El p-valor asociado al contraste es 0.4908. Como este valor es
superior al nivel de significación (que para este ejemplo es 0.05), no podemos rechazar la
hipótesis nula que hemos planteado. Es decir, se puede considerar que la varianza de
ambas poblaciones son iguales.
Una vez aceptada la igualdad de varianzas, realizamos en contraste de diferencia de
medias de dos poblaciones normales independientes.
> t.test(asimetriaCanopy, asimetriaSprouts, alternative = "two.sided", mu = 0,
var.equal = TRUE)
Two Sample t-test
data: asimetriaCanopy and asimetriaSprouts
t = -0.88477, df = 13, p-value = 0.3924
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.1755285 0.0735285
sample estimates:
mean of x mean of y
0.084 0.135
En la salida se incluye el valor del estadístico de contraste (-0.88477), los grados de
libertad de la distribución t de Student que sigue el estadístico de contraste (13) y el p-
valor (0.3924). Como el p-valor es mayor que el nivel de significación fijado (0.05), no
rechazamos la hipótesis nula y se deduce que las partes de la planta (Canopy y Sprouts)
no influyen en la asimetría de las hojas.
d) A un nivel de significación del 5%, ¿es representativo el ajuste lineal entre la longitud
y la asimetría? ¿Cuál sería la expresión del modelo? ¿Cuánto explica el modelo?
Introducimos los datos de la asimetría en R
> longitud <- c(26.51,30.17, 34.24, 31.04, 34.99, 30.48, 25.07, 25.04, 29.16, 35.12, 25.41,
27.02, 23.04, 27.69, 34.71)
> asimetría<- c(0.028, 0.010, 0.080, 0.340, 0.087, 0.040, 0.010, 0.021, 0.135, 0.010,
0.094, 0.153, 0.156, 0.172, 0.077)
> reg_lin <- lm(asimetría ~ longitud)
> reg_lin
Call:
lm(formula = asimetría ~ longitud)
Coefficients:
(Intercept) longitud
0.119847 -0.000875
Por defecto, la salida que muestra la función lm incluye únicamente las estimaciones para
los parámetros, en nuestro caso
y
. Por tanto, el modelo lineal puede escribirse del
siguiente modo:
asimetría = 0.119847 - 0.000875 * longitud
Podemos obtener más información sobre el modelo de regresión que hemos calculado
aplicando la función su mmary al objeto que contiene los datos de la regresión, al cual
hemos llamado reg_lin en este ejemplo.
> summary(reg_lin)
Call:
lm(formula = asimetría ~ longitud)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.087912 -0.072795 -0.009889 0.048489 0.247311
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.119847 0.178754 0.670 0.514
longitud -0.000875 0.006044 -0.145 0.887
Residual standard error: 0.09187 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.001609, Adjusted R-squared: -0.07519
F-statistic: 0.02096 on 1 and 13 DF, p-value: 0.8871
Esta salida contiene una información más completa sobre el análisis. Así, por ejemplo,
encontramos información sobre los residuos (en el apartado Residuals), que se definen
como la diferencia entre el verdadero valor de la variable dependiente y el valor que
pronostica el modelo de regresión. Cuanto más pequeños sean estos residuos mejor será
el ajuste del modelo a los datos y más acertadas serán las predicciones que se realicen a
partir de dicho modelo.
En la tabla Coefficients encontramos los valores de los parámetros que aparecían en la
salida por defecto junto a su error estándar. Cada parámetro aparece acompañado del
valor de un estadístico t de Student y un p-valor que sirven para contrastar la significación
del parámetro en cuestión, es decir, para resolver los siguientes contrastes de hipótesis:
Lo que se pretende mediante estos contrastes es determinar si los efectos de la constante
y de la variable independiente son realmente importantes para de explicar la variable
dependiente o si, por el contario, pueden considerarse nulos.
En nuestro ejemplo, los p-valores que nos ayudan a resolver estos contrastes son 0.514 y
0.887, ambos mayores que 0.05. Así, considerando un nivel del significación del 5%, no
rechazamos la hipótesis nula en ambos contrastes, de manera que podemos suponer
ambos parámetros no son significativamente distintos de 0. Por lo tanto que concluimos
que longitud no es válida para predecir la asimetría según un modelo lineal.
Por último, en la parte final de la salida, encontramos el valor de R² (Multiple R-squared)
y de R² ajustado (Adjusted R-squared), que son indicadores de la bondad del ajuste de
nuestro modelo a los datos. R² oscila entre 0 y 1, de manera que, valores de R² próximos
a 1 indican un buen ajuste del modelo lineal a los datos. Por otro lado, R² ajustado es
similar a R², pero penaliza la introducción en el modelo de variables independientes poco
relevantes a la hora de explicar la variable dependiente. Por tanto, R² ajustado <= R². En
nuestro ejemplo, R² = 0.001609 y R² ajustado = -0.07519, por lo que podemos concluir
que el modelo lineal no se ajusta a nuestros datos. El porcentaje de variación de la
asimetría de las hojas de la encina explicado por el modelo de regresión lineal es igual al
0.1 %, siendo ésta una cantidad claramente insatisfactoria
La última línea de la salida incluye un estadístico F de Snedecor y el p-valor
correspondiente que se utilizan para resolver el siguiente contraste:
que se conoce habitualmente como contraste ómnibus. Mediante este contraste se
comprueba si, de forma global, el modelo lineal es apropiado para modelizar los datos.
En nuestro ejemplo, el p-valor asociado a este contraste 0.8871 es mayor que 0.05 por lo
que, al 5% de significación no podemos rechazar la hipótesis nula y afirmar que,
efectivamente, el modelo lineal no es adecuado para nuestro conjunto de datos.
