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This event finished on 26 January 2026.
Los valores propios del operador de Laplace en una variedad Riemanniana compacta Mⁿ son invariantes Riemannianos de naturaleza analítica [BGM]. En particular, el primer valor propio (no trivial), λ₁(Mⁿ), contiene información intrínseca significativa sobre Mⁿ [BGM]. En el caso en que Mⁿ sea una subvariedad compacta del espacio euclídeo, la búsqueda de relaciones entre λ₁(Mⁿ) y alguna cantidad extrínseca surge de manera natural.
En esta dirección, R.C. Reilly demostró, en su relevante artículo [Re], que el primer valor propio de una subvariedad compacta de dimensión n en un espacio euclídeo de dimensión n + p está acotado superiormente por n veces el valor promedio del cuadrado de la norma del campo vectorial de curvatura media correspondiente. Además, si el valor propio alcanza dicha cota, entonces la subvariedad se encuentra mínimalmente contenida en una hiperesfera del espacio euclídeo.
A través de un contraejemplo, mostraremos que el resultado de Reilly no se cumple para una subvariedad compacta espacial de codimensión ≥ 2 en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski [PaRo]. En la búsqueda de un resultado alternativo, revisaremos la demostración original de Reilly [Re], observando que no se puede aplicar a una subvariedad espacial compacta del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski.
A continuación, se desarrollará la nueva técnica introducida en [PaRo], basada en una fórmula integral sobre una sección espacial compacta del cono de luz en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski. Esta técnica es genuina en nuestro contexto, es decir, no puede extenderse a otros espacios semi-euclídeos de índice superior. Como aplicación, se obtiene una familia de cotas superiores para λ₁(Mⁿ) cuando Mⁿ es una subvariedad espacial compacta del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski [PaRo]. Luego, se caracteriza geométricamente el caso de igualdad en una de estas desigualdades.
En el camino, se vuelve a demostrar el resultado original de Reilly [Re] cuando una subvariedad compacta del espacio euclídeo ℝⁿ⁺¹ es vista naturalmente como una subvariedad espacial del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski 𝕃ⁿ⁺² a través de un hiperplano espacial. En este caso, se calcula explícitamente una nueva cota superior para λ₁(Mⁿ) cuando Mⁿ no está contenida mínimalmente en una hiperesfera del hiperplano espacial [PaRo2]. Esta nueva estimación mejora la cota superior clásica dada por Reilly en [Re]. Finalmente, ilustramos esta mejora con varios ejemplos concretos [PaRo2].
