Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La siguiente lista es una recopilación (probablemente no exhaustiva) de las técnicas estándar para participar en olimpiadas de nivel local a internacional, agrupadas en ocho grandes bloques. Sin embargo, lo más importante es sin duda hacer muchos problemas.

• Razonamiento lógico. Conectores y cuantificadores lógicos, simbolismo, teoremas, implicación y equivalencia lógica, ejemplos y contraejemplos, demostración directa, demostración por contrarrecíproco, demostración por reducción al absurdo, demostración por inducción.
• Teoría de números. Números enteros y racionales, los dígitos de un número, divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, algoritmo de Euclides, identidad de Bézout, factorización, números primos y compuestos, operaciones con congruencias, teorema de Euler-Fermat, teorema chino del resto, residuos cuadráticos, polinomios con coeficientes enteros, ecuaciones diofánticas.
• Geometría. Semejanza y congruencia, teorema de Thales, teorema de Pitágoras, ángulos en la circunferencia, caza de ángulos, cuadriláteros cíclicos, teorema de Ptolomeo, teoremas de Ceva y Menelao, puntos notables del triángulo, recta de Euler, movimientos rígidos del plano, homotecias, inversiones, lugares geométricos, construcciones con regla y compás, geometría analítica.
• Polinomios. Operaciones, factorización, teorema del resto, regla de Ruffini, teorema fundamental del álgebra, relaciones de Cardano-Vieta, identidades notables, ecuaciones recíprocas, polinomios simétricos, raíces de la unidad.
• Desigualdades. Desigualdades y operaciones, funciones monótonas, máximos y mínimos, desigualdades con cuadrados, desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdades de las medias, desigualdad de reordenación, desigualdad de Chebyshov, convexidad y desigualdad de Jensen, desigualdades con pesos, desigualdad de Hölder, mayoración y desigualdad de Muirhead.
• Álgebra. Ecuaciones y sistemas no lineales, números irracionales, números complejos, función parte entera, trigonometría, ecuaciones funcionales, sucesiones recurrentes, series,
• Combinatoria. Principios de suma y multiplicación, permutaciones, combinaciones, binomio de Newton, números figurados, separadores, principio de inclusión-exclusión, conteo por biyección, doble conteo, conteo por recurrencia, probabilidad, funciones generatrices.
• Invariantes y estrategias. Invariantes numéricos, invariantes geométricos, coloraciones, teselaciones, principio de minimalidad, principio del palomar, estrategias ganadoras, teoría de grafos.

La mejor forma de prepararse es enfrentarse muchos problemas. Aunque hay que comprender ciertas ideas que difícilmente deduciremos solo haciendo problemas, no sirve de nada solo estudiarse la teoría pensando que con eso sabremos hacerlo todo. Actualmente, casi todos los problemas están pensados para que no le salgan a alguien meramente por saberse algo concreto. Podemos necesitar, por ejemplo, calcular los divisores de un número en un momento concreto, pero este no será el objetivo del problema. Por lo tanto, la recomendación es que le des un vistazo a las distintas lecciones pensando en quedarte con las ideas y viendo cómo se aplican en problemas concretos que verás en los ejemplos y, dependiendo del tiempo del que dispongas, intentando los ejercicios propuestos (que están pensados para que salgan con lo que se acaba de explicar más un poco de ingenio.

No. Los problemas no están pensados para que le salgan solo a quien se haya estudiado la teoría. Sin embargo, conocer la teoría te hará ser capaz de relacionar los problemas con conceptos y técnicas concretas y, más importante, ganar confianza y no perder tiempo con cálculos estándar. Por ejemplo, si no conoces los números combinatorios, determinados problemas de conteo te resultarán muy pesados de razonar y te restarán seguridad sobre si aquello está bien o no. Si no tienes mucho tiempo para prepararte, céntrate en mirar aquellos conceptos que encuentras recurrentemente en los problemas de la competición a la que te vas a enfrentar.

Habrá temas que te pueden parecer mucho más atractivos que otros, por el motivo que sea. Si estudias un grado en matemáticas, entenderás con mucha mayor profundidad (aunque seguramente con menos ingenio) la mayoría de contenidos olímpicos. Por el momento, consulta con tu profesor/a o preparador/a para que te guíe. Los foros de Internet donde se habla del tema tienen dos inconvenientes: no están adaptados a tu nivel y, más importante, suelen tener muchos errores.