Problemas de Matemáticas

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Geometría (nivel 1)

Lección 4. Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas proporcionan una herramienta muy útil para dar relaciones numéricas entre lados y ángulos en geometría. En esta lección vamos a presentar las propiedades fundamentales de las funciones seno y coseno, justificándolas desde el punto de vista de la geometría.

Supongamos que tenemos un ángulo agudo $\alpha$ y construimos un triángulo rectángulo $ABC$ de forma que $\angle CAB=\alpha$, $\angle ABC=90$ y $\angle BCA=90-\alpha$. Definimos entonces \[\sin(\alpha)=\frac{a}{b}=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\hspace{1cm}\cos(\alpha)=\frac{c}{b}=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}},\] y a estas cantidades las llamaremos seno y coseno de $\alpha$, respectivamente. Lo importante es que no dependen en absoluto del triángulo $ABC$, es decir, se pueden calcular en cualquier otro triángulo rectángulo tal que uno de los ángulos sea $\alpha$ ya que cualesquiera triángulos rectángulos en estas condiciones son semejantes entre sí. Para ángulos obtusos, usaremos las siguientes fórmulas como definición: \[\sin(\alpha)=\sin(180-\alpha),\hspace{1cm}\cos(\alpha)=-\cos(180-\alpha).\]

Identidad fundamental Para todo ángulo $\alpha$, se tiene que $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

Demostración

Basta considerar el caso de ángulos agudos ya que los cuadrados eliminan los signos. El teorema de Pitágoras nos dice directamente que \[\sin^2\beta+\cos^2\beta=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.\]

Como las razones trigonométricas no dependen del triángulo, podemos colocar su vértice en un punto fijo, uno de sus lados en una semirrecta fija y dejar variar al otro, que hace el papel de hipotenusa, con longitud constante uno. Por tanto, elegir un ángulo concreto es elegir un punto sobre una circunferencia de radio uno, la conocida como circunferencia goniométrica:

Esto nos permite hablar de seno y coseno de ángulos que no tienen por qué estar entre $0$ y $180$, sino que pueden tomar cualquier valor real. La convención es tomar el seno positivo cuando el ángulo está en el primer o segundo cuadrante y negativo en el tercero o en el cuarto, mientras que el coseno se toma positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercero. De esta manera, el seno y el coseno son funciones de un ángulo que repiten su valor cada vez que el ángulo se incrementa $360$ grados, es decir, cuando damos una vuelta completa a la circunferencia. Todo esto se resume en las siguientes expresiones que definen a las funciones seno y coseno para todo valor de $\alpha\in\mathbb R$ (¡incluso negativo!): \begin{align*} \sin(\alpha+90)&=\cos\alpha,& \cos(\alpha+90)&=-\sin\alpha,\\ \sin(\alpha+180)&=-\sin\alpha,& \cos(\alpha+180)&=-\cos\alpha,\\ \sin(\alpha+270)&=-\cos\alpha,& \cos(\alpha+270)&=\sin\alpha,\\ \end{align*} En realidad, sólo hay que recordar que las gráficas de las funciones seno y coseno tienen ejes de simetría verticales y centros de simetría donde son cero (estos ejes y centros se han marcado con colores en la imagen de arriba). También es importante saber que la gráfica de la función coseno no es más que trasladar horizontalmente la gráfica de la función seno. Con esto, se tienen todas las relaciones y simetrías de ambas funciones y además nos aseguramos que es suficiente conocerlas en el intervalo $[0,90]$. Son particularmente útiles siguientes simetrías par e impar: \[\cos(-x)=\cos(x),\qquad\mathrm{sen}(x)=-\mathrm{sen}(x).\]

Ejercicio resuelto Calcula el seno y coseno de los siguientes ángulos: \[0,\quad 15,\quad 18,\quad 30,\quad 36,\quad 45,\quad 54,\quad 60,\quad 72,\quad 75,\quad 90.\]

Solución

Para los ángulos de $0$ y $90$, está claro que \[\mathrm{sen}(0)=\cos(90)=0,\qquad \mathrm{sen}(90)=\cos(0)=1.\] Para el resto de ángulos, vamos a utilizar un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular, todos ellos de lado $1$, así como un triángulo equilátero apoyado sobre el lado de un cuadrado. Estas son configuraciones en las que aparecen los ángulos que necesitamos en triángulos rectángulos (¿sabrías justificar por qué?): Vamos a ver las figuras una por una.

En el triángulo equilátero de lado $1$, la altura mide $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por el teorema de Pitágoras, luego se forma un triángulo rectángulo de lados $1$, $\frac{1}{2}$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Por tanto, \[\mathrm{sen}(60)=\cos(30)=\tfrac{1}{2},\qquad \mathrm{sen}(30)=\cos(60)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.\]
En el cuadrado de lado $1$, se forma un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a $1$ e hipotenusa $\sqrt{2}$ por el teorema de Pitágoras. Tenemos entonces que \[\mathrm{sen}(45)=\cos(45)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.\]
En el pentágono regular de lado $1$, llamemos $d$ a la longitud de la diagonal. El teorema de Ptolomeo aplicado al cuadrilátero cíclico que tiene cuatro de los vértices del pentágono nos dice que $d^2=d+1$. Nos quedamos con la única solución positiva de esta ecuación de segundo grado, es decir, $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. El triángulo rectángulo de ángulos $36$ y $54$ tiene hipotenusa $1$ y uno de los catetos $\frac{d}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$, luego el otro cateto es $\tfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$ por el teorema de Pitágoras. Por tanto, \begin{align*} \mathrm{sen}(36)&=\cos(54)=\tfrac{d}{2}=\tfrac{1+\sqrt{5}}{4},\\ \mathrm{sen}(54)&=\cos(36)=\tfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.\end{align*} Nos fijamos ahora en el triángulo rectángulo de ángulos $18$ y $72$. Tiene un cateto $\frac{1}{2}$ e hipotenusa $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, luego el otro cateto es igual a $\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}$. De esta forma, podemos calcular \begin{align*} \mathrm{sen}(18)&=\cos(72)=\tfrac{1}{2d}=\tfrac{\sqrt{5}-1}{4},\\ \mathrm{sen}(72)&=\cos(18)=\tfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\tfrac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.\end{align*}
En el cuadrado de lado $1$ en que se ha dibujado un triángulo equilátero interior, el triángulo rectángulo de ángulos $15$ y $75$ tiene catetos $\frac{1}{2}$ y $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$, luego su hipotenusa es $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ por el teorema de Pitágoras. Esto nos dice que \begin{align*} \mathrm{sen}(15)&=\cos(75)=\tfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\\ \mathrm{sen}(75)&=\cos(15)=\tfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}.\end{align*}

En los cálculos anteriores hay algunas racionalizaciones difíciles, pero se dejan los detalles como ejercicio.

Resolución de triángulos

Una propiedad muy interesante de las razones trigonométricas es que nos permiten relacionar distintos elementos de un triángulo cualquiera, no necesariamente rectángulo. El teorema del coseno, que escribimos a continuación, puede verse como un teorema de Pitágoras generalizado cuando el triángulo no es necesariamente rectángulo. Como es habitual, escribiremos los lados de un triángulo $ABC$ como $a=BC$, $b=AC$ y $c=AB$ y los ángulos como $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ en los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente.

Teorema del coseno En un triángulo $ABC$ se cumple que \begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,\\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cos\beta,\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \end{align*}

Demostración

Supondremos que el ángulo $\alpha$ es agudo. Para los ángulos $\beta$ y $\gamma$ el razonamiento es similar y el caso en que $\alpha$ es obtuso se deja como ejercicio. Tomamos $h$ la altura que pasa por $B$ y corta al lado $b$ en un punto $P$, como se muestra en la figura.

En el triángulo rectángulo $APC$, tenemos que $\cos\alpha=AP/c$, luego despejamos $AP=c\cos\alpha$ y $CP=b-AP=b-c\cos(\alpha)$. Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos $ABP$ y $BCP$, podemos calcular \begin{align*} c^2=AP^2+h^2=AP^2+a^2-CP^2&=c^2\cos^2\alpha+a^2-(b-c\cos\alpha)^2\\ &=a^2-b^2+2bc\cos\alpha. \end{align*} De aquí se tiene directamente la fórmula del enunciado.

Teorema del seno En un triángulo $ABC$ se cumple que \[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,\] donde $R$ es el radio de su circunferencia circunscrita.

Demostración

Al igual que en el teorema del coseno, supondremos que el ángulo $\alpha$ es agudo. Para los ángulos $\beta$ y $\gamma$ la demostración es similar y el caso en que $\alpha$ es obtuso se deja como ejercicio. La idea es considerar la circunferencia circunscrita a $ABC$ y su centro $O$, que estará al mismo lado de la recta $BC$ que el lado $A$ ya que el ángulo $\alpha$ es agudo. Ahora podemos tomar un punto $P$ de la circunferencia de forma que $BP$ sea un diámetro de la circunferencia, como se ve en la figura:

Como $BP$ es un diámetro, necesariamente el ángulo $\angle BCP$ es recto y además $\angle BPC=\alpha$ por la propiedad del arco capaz. Esto nos permite calcular el seno de $\alpha$ en el triángulo rectángulo $BCP$ como $\sin\alpha=\frac{a}{2R}$ y hemos terminado.

Los teoremas del seno y el coseno, además de dar relaciones interesantes entre los elementos de un triángulo, pueden pensarse también como una herramienta con la que, dados tres elementos entre ángulos o lados, nos permiten calcular los otros tres (salvo que nos den tres ángulos, situación en la que el triángulo no está determinado). El siguiente ejercicio resuelto, debería convencernos de esto.

Ejercicio propuesto

Hallar las longitudes de los lados de un triángulo $ABC$, sabiendo que $a=5$, $\beta=45$ y $\gamma=60$.
Responder a la misma pregunta sabiendo ahora que $a=5$, $\beta=45$ y $b=4$.
Hallar los ángulos de un triángulo $ABC$ sabiendo que $a=5$, $b=4$ y $c=6$.

Una consecuencia del teorema del seno es la siguiente, que suele simplificar muchos razonamientos en la práctica.

Ordenación de los lados y ángulos Los lados de un triángulo $ABC$ están ordenados igual que sus ángulos opuestos. En otras palabras, se cumple que $\alpha\geq \beta\geq \gamma$ si, y sólo si, $a\geq b\geq c$.

Demostración

El teorema del seno nos dice que los lados están ordenados igual que los senos de los ángulos opuestos. Si el triángulo es acutángulo, como la función seno es creciente en el intervalo $[0,90]$, la propiedad del enunciado es evidente.

Supongamos ahora que un ángulo es obtuso, pongamos $\alpha\gt 90\gt \beta\geq \gamma$. Observemos que $\beta= 180-\alpha-\gamma\lt 180-\alpha\lt 90$, luego tenemos que \[\mathrm{sen}(\beta)\lt\mathrm{sen}(180-\alpha)=\mathrm{sen}(\alpha).\] Además, también se tiene que $\mathrm{sen}(\gamma)\leq\mathrm{sen}(\beta)$ ya que $\gamma\leq\beta\lt 90$. Hemos probado que los senos están ordenados igual que los ángulos y esto termina la demostración.

Fórmulas trigonométricas

A la hora de trabajar con funciones trigonométricas, existen multitud de fórmulas que permiten transformar expresiones con senos y cosenos. En realidad, todas ellas se deducen a partir de las del seno y coseno de una suma.

Seno y coseno de una suma \begin{align*} \mathrm{sen}(x+y)&=\mathrm{sen}(x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm{sen}(y),\\ \mathrm{cos}(x+y)&=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y). \end{align*}

Demostración

Vamos a suponer que los ángulos $x$ e $y$ están en el intervalo $[0, 90]$ y demostraremos sólo la igualdad para el coseno (más abajo se dice cómo probar el resto de casos). Consideremos un triángulo de ángulos $x$, $y$ y $180-x-y$, del que supondremos que el radio de la circunferencia circunscrita es $R=\frac{1}{2}$ después de hacer una semejanza. El teorema del seno nos dice que dicho triángulo tiene lados $\mathrm{sen}(x)$, $\mathrm{sen}(y)$ y $\mathrm{sen}(180-x-y)=\mathrm{sen}(x+y)$:

El teorema del coseno nos dice que $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C)$, lo que se traduce en que \begin{align*} \mathrm{sen}^2(x+y)&=\mathrm{sen}^2(x)+\mathrm{sen}^2(y)-2\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\cos(180-x-y)\\ &=\mathrm{sen}^2(x)+\mathrm{sen}^2(y)+2\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\cos(x+y). \end{align*} Dado que $\mathrm{sen}^2(x+y)=1-\cos^2(x+y)$ por la identidad fundamental, la igualdad anterior nos dice que $z=\cos(x+y)$ es solución de la ecuación de segundo grado \[z^2+2\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)z+\mathrm{sen}^2(x)+\mathrm{sen}^2(y)-1=0.\] Esta ecuación tiene soluciones \begin{align*} z&=-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\pm\sqrt{\mathrm{sen}^2(x)\mathrm{sen}^2(y)-\mathrm{sen}^2(x)-\mathrm{sen}^2(y)+1}\\ &=-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\pm\sqrt{(1-\mathrm{sen}^2(x))(1-\mathrm{sen}^2(y))}\\ &=-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\pm\cos(x)\cos(y). \end{align*} Si $x+y\leq 90$, podemos descartar la solución con el signo $-$ puesto que $\cos(x+y)\geq 0$. Si $90\lt x+y\leq 180$, podemos hacer el siguiente truco: \begin{align*} \cos(x+y)&=-\cos(180-(x+y))=-\cos((90-x)+(90-y))\\ &=\mathrm{sen}(90-x)\mathrm{sen}(90-y)-\cos(90-x)\cos(90-y)\\ &=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y), \end{align*} ya que ahora $90-x$ y $90-y$ suman menos de $90$ y podemos usar el caso previamente demostrado.

Una posibilidad para probar el resto de casos es usar las simetrías de las funciones seno y coseno y seguir estos pasos (se deja como ejercicio, aunque es más pesado que instructivo pues no aporta ninguna idea nueva):

Extender la fórmula del coseno para ángulos $x,y\in[-90,90]$ usando que \[\cos(x-180)=-\cos(x),\qquad \mathrm{sen}(x-180)=-\mathrm{sen}(x).\]
Probar la fórmula para $\mathrm{sen}(x+y)$ con $x,y\in[0,90]$ usando que \[\mathrm{sen}(x+y)=\cos(90-(x+y))=\cos((90-x)+(-y)).\]
Extender ambas fórmulas para todo $x,y\in\mathbb{R}$ usando que \[\cos(x+90)=-\mathrm{sen}(x),\qquad \mathrm{sen}(x+90)=\cos(x).\] Para que esto sea totalmente riguroso, debe hacerse por inducción sobre los intervalos $[90n,90(n+1)]$ para $n\geq 0$ y luego para $n\leq 0$.

Observemos que al ser el coseno una función par y el seno una función impar, tenemos automáticamente fórmulas para el seno y el coseno de una diferencia: \begin{align*} \mathrm{sen}(x-y)&=\mathrm{sen}(x)\cos(-y)+\cos(x)\mathrm{sen}(-y)\\ &=\mathrm{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm{sen}(y),\\ \cos(x-y)&=\cos(x)\cos(-y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(-y)\\ &=\cos(x)\cos(y)+\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y). \end{align*}

Seno y coseno del ángulo doble \begin{align*} \mathrm{sen}(2x)&=2\mathrm{sen}(x)\cos(x),\\ \mathrm{cos}(2x)&=\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x). \end{align*}

Demostración

Es muy fácil demostrarlo desarrollando $\mathrm{sen}(x+x)$ y $\cos(x+x)$. Se deja como ejercicio.

Seno y coseno del ángulo mitad \begin{align*} \mathrm{sen}^2(\tfrac{x}{2})&=\frac{1-\cos(x)}{2},\\ \mathrm{cos}^2(\tfrac{x}{2})&=\frac{1+\cos(x)}{2}. \end{align*}

Demostración

Usando la identidad fundamental y la fórmula del coseno del ángulo doble, tenemos que \begin{align*} 1&=\cos^2(\tfrac{x}{2})+\mathrm{sen}^2(\tfrac{x}{2}),\\ \mathrm{cos}(x)&=\cos^2(\tfrac{x}{2})-\mathrm{sen}^2(\tfrac{x}{2}). \end{align*} Ahora sólo hay que sumar y restar ambas igualdades para llegar a las fórmulas del enunciado. Observemos que no podemos quitar el cuadrado del miembro de la derecha ya que no sabemos en principio cuál es el signo del seno o del coseno de $\frac{x}{2}$.

Transformación de productos en sumas \begin{align*} \mathrm{sen}(x)\,\mathrm{sen}(y)&=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},\\ \cos(x)\cos(y)&=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}\\ \mathrm{sen}(x)\cos(y)&=\frac{\mathrm{sen}(x+y)+\mathrm{sen}(x-y)}{2}.\end{align*}

Demostración

Sólo hay que desarrollar los miembros de la derecha usando las fórmulas para el seno y coseno de una suma o diferencia. Se deja como ejercicio.

Transformación de sumas en productos \begin{align*} \mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y)&=2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right),\\ \mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y)&=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right),\\ \cos(x)+\cos(y)&=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right),\\ \cos(x)-\cos(y)&=-2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right). \end{align*}

Demostración

En realidad son las mismas fórmulas que las transformaciones de productos en sumas sólo que haciendo los cambios $x\mapsto\frac{x+y}{2}$ e $y\mapsto\frac{x-y}{2}$. Se deja también como ejercicio.

Obviamente, no es necesario ni recomendable memorizar ninguna estas fórmulas, ya que se deducen todas de forma más o menos rápida de las fórmulas para el seno y coseno de una suma. Sin embargo, conviene saber que las transformaciones anteriores existen, por si nos pueden ayudar a simplificar alguna expresión concreta.

Ejercicio propuesto Demostrar que en un triángulo $ABC$, el ángulo $\alpha$ en el vértice $A$ cumple \begin{align*} \cos(\alpha)&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},& \mathrm{sen}(\alpha)&=\frac{2S}{bc},\\ \cos(\tfrac{\alpha}{2})&=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}},&\mathrm{sen}(\tfrac{\alpha}{2})&=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}, \end{align*} donde $S$ es el área de $ABC$ y $p=\frac{a+b+c}{2}$ su semiperímetro.

Deducir la conocida como fórmula de Herón: \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\] así como la siguiente fórmula para el radio circunscrito: \[R=\frac{abc}{4S}.\]

Ejercicio propuesto En un triángulo $ABC$ de ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, demostrar las siguientes identidades: \[\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)=1+4\,\mathrm{sen}(\tfrac{\alpha}{2})\,\mathrm{sen}(\tfrac{\beta}{2})\,\mathrm{sen}(\tfrac{\gamma}{2})=1+\frac{S}{Rp},\] \[\mathrm{sen}^2(\tfrac{\alpha}{2})+\mathrm{sen}^2(\tfrac{\beta}{2})+\mathrm{sen}^2(\tfrac{\gamma }{2})=1-2\,\mathrm{sen}(\tfrac{\alpha}{2})\,\mathrm{sen}(\tfrac{\beta}{2})\,\mathrm{sen}(\tfrac{\gamma}{2})=1-\frac{S}{2Rp},\] \[\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen}(\beta)+\mathrm{sen}(\gamma)=4\cos(\tfrac{\alpha}{2})\cos(\tfrac{\beta}{2})\cos(\tfrac{\gamma}{2})=\frac{p}{R},\] donde $S$ es el área de $ABC$, $p=\frac{a+b+c}{2}$ su semiperímetro y $R$ el radio de su circunferencia circunscrita.

Otras razones trigonométricas

En la práctica, en ocasiones se usan otras razones trigonométricas, aunque en el fondo todas ellas se pueden expresar en términos de senos y cosenos. Estas funciones son la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante: \[\tan(x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)},\qquad \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)},\qquad \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)},\qquad \csc(x)=\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}.\] Estas razones están definidas sólo cuando los denominadores no se anulan. La tangente, por ejemplo, no está definida en los múltiplos impares de $90$, donde el coseno es cero. Sin embargo, en el intervalo $(-90,90)$ es una función creciente desde $-\infty$ hasta $+\infty$ y luego sus valores se repiten cada vez que aumentamos o disminuimos el ángulo en $180$ grados. La tangente recibe su nombre por ser la longitud del segmento tangente a la circunferencia que se ve con el ángulo, como hemos representado en la siguiente figura en verde:

Ejercicio propuesto Demuestra las siguientes fórmulas para la tangente:

$\tan(x\pm y)=\dfrac{\tan(x)\pm\tan(y)}{1\mp\tan(x)\tan(y)}$,
$\tan(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$,
$\tan^2(\frac{x}{2})=\dfrac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}$,
$\tan(x)+\tan(y)=\dfrac{\mathrm{sen}(x+y)}{\cos(x)\cos(y)}$.

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