Nuestro principal objetivo es determinar de alguna forma sencilla los divisores de un número ya que estos dan mucha información para trabajar con el número. Sabemos que cualquier entero $n\in\mathbb{Z}$ tiene por lo menos cuatro divisores: $\pm 1$ y $\pm n$. Si estos fueran los únicos, el número sería lo más sencillo posible en lo que se refiere a divisibilidad. De hecho, estos son los llamados números primos, nombre que proviene de número primero, ya que los números primos son los pilares del edificio de los números enteros: todos se obtienen a partir de ellos. Esto quedará claro una vez que veamos el teorema fundamental de la aritmética.
Es importante darse cuenta que el número $1$ no es un número primo porque tiene sólo un divisor positivo: el propio $1$. En general, se puede hablar también de primos negativos: $-p$ es primo si, y sólo si, $p$ es primo. En la siguiente tabla podemos los cien primeros números primos positivos:
\[\begin{array}{rrrrrrrrrr}
2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 \\
31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 \\
73 & 79 & 83 & 89 & 97 & 101 & 103 & 107 & 109 & 113 \\
127 & 131 & 137 & 139 & 149 & 151 & 157 & 163 & 167 & 173 \\
179 & 181 & 191 & 193 & 197 & 199 & 211 & 223 & 227 & 229 \\
233 & 239 & 241 & 251 & 257 & 263 & 269 & 271 & 277 & 281 \\
283 & 293 & 307 & 311 & 313 & 317 & 331 & 337 & 347 & 349 \\
353 & 359 & 367 & 373 & 379 & 383 & 389 & 397 & 401 & 409 \\
419 & 421 & 431 & 433 & 439 & 443 & 449 & 457 & 461 & 463 \\
467 & 479 & 487 & 491 & 499 & 503 & 509 & 521 & 523 & 541
\end{array}\]
Si observas la tabla, pronto descubrirás que no hay ninguna regla sencilla que te permita pasar de un primo al siguiente y es que realmente no se conoce ninguna forma sencilla de generar los números primos. ¿Qué hay que hacer entonces para ver si un número es primo? Pues no queda otra opción que comenzar a dividirlo por otros números más pequeños a ver si la división es o no exacta. Tendríamos que probar con todos los números menores que el número, pero esto se puede acortar un poco y lo vamos a ver con un ejemplo. Imaginemos que tenemos el número $7919$ y queremos ver si es primo: lo dividimos porn $2$, por $3$, por $4$, y así sucesivamente (en cuanto veamos el Teorema fundamental de la aritmética veremos que sólo hace falta probar con los primos). Vemos que no nos sale exacta la división por ningún número, pero cuando llegamos a dividir por $88$ obtenemos cociente $89$ y resto $87$ y, cuando dividimos por $89$, obtenemos cociente $88$ y resto $87$. No nos ha salido ninguna división exacta pero el cociente empieza a ser menor que el divisor: evidentemente ya no nos saldrá ninguna porque si $7919=a\cdot b$ y $a>89$, entonces $b\lt 89$ y nos tendría que haber salido el factor $b$ antes. Por tanto, $7919$ es primo (es el primo número $1000$). Todo esto se resume en la siguiente regla.
Los números primos son los más sencillos en todo lo que a productos y divisibilidades se refiera. Vamos a probar que todo número entero se puede expresar de forma única como producto de primos, pero antes necesitaremos una propiedad importante.
Lema de Euclides
Si un número primo divide a un producto, entonces divide a alguno de los factores.
Demostración
Supongamos que $a,b\in\mathbb{N}$ cumplen que $p|ab$ y $p$ no divide a $b$ y probemos que $p|a$. En efecto, en tal caso $\mathrm{mcd}(p,b)$ es un divisor de $p$ que no puede ser $p$ (ya que en tal caso $p|b$) luego $\mathrm{mcd}(p,b)=1$ y, por la identidad de Bézout, existen $u,v\in\mathbb{Z}$ tales que $1=pu+bv$ luego $a=apu+abv$. Como $p|abv$ y $p|apu$, tenemos que $p|a$.
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número natural mayor que uno se puede expresar de forma única como producto de primos (salvo reordenación de éstos).
Demostración
Para probar la existencia procedamos por inducción. Es obvio que $2$ es un número primo luego cumple el enunciado. Supuesto que todo número menor que $n>2$ pueda expresarse de tal manera, consideremos $n$. Si $n$ es primo habremos acabado pero si no es primo es porque existen $a,b\in\mathbb{N}$ tales que $n=ab$ y $1\lt a,b\lt n$, en cuyo caso aplicamos la hipótesis de inducción a $a$ y a $b$ obteniendo números primos $p_1,\ldots,p_r$ y $q_1,\ldots,q_s$ tales que $a=p_1\cdots p_r$ y $b=q_1\cdots q_s$, de donde $n=p_1\cdots p_rq_1\cdots q_s$ y hemos expresado $n$ como producto de primos.
Para la unicidad, supongamos que tenemos expresado $n=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s$ de dos formas como producto de primos. Entonces $p_1|n=q_1\cdots q_s$ de donde por el lema de Euclides existe $i_1\in\{1,\ldots,s\}$ tal que $p_1|q_{i_1}$ luego como $p_1\neq 1$ tenemos que $p_1=q_{i_1}$ y podemos cancelarlo en la expresión de $n$ obteniendo $p_2\cdots p_r=q_1\cdots q_{i_1-1}q_{i_1+1}q_s$. Ahora repetimos el proceso con $p_2$, $p_3$, etc. Es claro así que debe ocurrir que $r=s$ y existe una permutación $i_1,\ldots,i_r$ de los números $1,\ldots,r$ tal que $p_k=q_{i_k}$ para cualquier $k$.
Si agrupamos todos los factores primos iguales de un número $n>1$, podemos escribirlo de forma única como
\[n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\]
donde los $p_i$ son primos distintos y los exponentes $e_i$ números naturales. A una expresión de esta forma la llamaremos descomposición de $n$ en factores primos y sabemos que siempre existe.
Vamos a demostrar ahora uno de los resultados más conocidos de Euclides que nos asegura que hay tantos primos como queramos.
Proposición (Euclides)
Existen infinitos números primos.
Demostración
Razonando por contradicción, supongamos que hay un número finito de primos, pongamos $p_1,\ldots,p_n$ y consideremos el número natural $N=p_1p_2\cdots p_n+1$. Ahora bien, $N$ no puede ser primo pues es mayor que cualquier $p_k$, de donde deducimos que es producto de primos, pero ninguno de los anteriores divide a $N$ (en tal caso dividirían a $N-p_1\cdots p_n=1$) y hemos llegado a una contradicción.
Vamos a aplicar la misma técnica a otro caso parecido.
Ejercicio resuelto
Probar que existen infinitos primos de la forma $4k+3$.
Solución
Siguiendo el razonamiento de Euclides, supongamos que hay un número finito $p_1,\ldots,p_n$ y consideremos el número $N=p_1\cdots p_n+2$ si $n$ es par ó $N=p_1\cdots p_n+4$ si $n$ es impar. En cualquier caso, como el producto de dos números de la forma $4k+3$ es de la forma $4k+1$ y el producto de un número de la forma $4k+1$ con otro de la forma $4k+3$ vuelve a ser de la forma $4k+3$ (demostrarlo), $N$ siempre es de la forma $4k+3$ y, como el producto de dos números de la forma $4k+1$ vuelve a ser de esta forma, de entre los factores primos de $N$ tiene que haber alguno de la forma $4k+3$, es decir, algún $p_k$, pero entonces llegamos a una contradicción porque tal $p_k$ tendría que dividir o bien a $2$ o bien a $4$, dependiendo de si $n$ es par o impar, y todos los $p_k$ son impares.
Ejercicio resuelto
Dado cualquier número natural $n$, demostrar que existen $n$ enteros compuestos consecutivos.
Solución
La forma más clara de resolver este problema es mostrar $n$ enteros compuestos consecutivos, para lo que usaremos que el factorial $(n+1)!$ es divisible por todos los números entre $2$ y $n+1$. Entonces, los siguientes $n$ números consecutivos son compuestos:
$$(n+1)!+2,\quad (n+1)!+3,\quad (n+1)!+4,\ldots\quad(n+1)!+(n+1).$$
Números primos entre sí
Hasta ahora hemos hablado de números primos y de cómo estos ayudan a comprender la estructura de todos los números. No obstante, a veces es útil hablar de números que son primos con otros números, lo que significa que los números en cuestión no tienen divisores comunes distintos de $\pm 1$ o bien que su máximo común divisor es $1$.
Definición de números primos entre sí
Dos números $a,b\in\mathbb{Z}$ son primos entre sí (o primos relativos) cuando $\mathrm{mcd}(a,b)=1$, es decir, cuando no tengan divisores primos comunes.
Como la misma definición dice, si $a,b\in\mathbb{Z}$ son primos entre sí, entonces no tienen factores primos comunes luego si descomponemos $a=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ y $b=q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$, donde $p_1,\ldots,p_s,q_1,\ldots,q_s$ son números primos y los exponentes son naturales, entonces ninguno de los factores primos $p_i$ puede ser igual a uno de los factores $q_j$, es decir, las descomposiciones son disjuntas.
Si ahora $a$ y $b$ no son primos entre sí, entonces $d=\mathrm{mcd}(a,b)>1$, pero siempre podemos considerar $a'=\frac{a}{d}$ y $b'=\frac{b}{d}$. Estos nuevos números $a'$ y $b'$ sí son primos entre sí como puedes comprobar pues hemos eliminado todos los factores comunes. Esto no es nada nuevo pues es lo que se hace normalmente al simplificar una fracción: si tenemos el número racional $\frac{a}{b}$ (siempre que $b\neq 0$), entonces podemos multiplicar el numerador y el denominador simultáneamente por el número (distinto de cero) que queramos luego, si los multiplicamos por $\frac{1}{d}$, llegamos a la nueva fracción $\frac{a'}{b'}$, donde $\mathrm{mcd}(a',b')=1$. Esta fracción no puede simplificarse más y la llamamos fracción irreducible. Observa que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- $a$ y $b$ son primos entre sí.
- $\mathrm{mcd}(a,b)=1$
- No hay ningún primo $p$ que divida a $a$ y a $b$.
- La fracción $\frac{a}{b}$ es irreducible.
Ejercicio resuelto
Determina los valores de $n$ para los que la siguiente fracción es irreducible:
\[\frac{2n+3}{3n+1}.\]
Solución
Queremos hallar los valores de $n$ para los que $\mathrm{mcd}(2n+3,3n+1)=1$. El truco está en transformar este máximo común divisor usando que $\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a,b-qa)$, es decir, a uno de los dos miembros podemos restarle un múltiplo del otro sin que varíe el máximo común divisor. Haciendo esto, podemos escribir
\[\mathrm{mcd}(2n+3,3n+1)=\mathrm{mcd}(2n+3,n-2)=\mathrm{mcd}(7,n-2)\]
luego el máximo común divisor buscado es $1$ ó $7$ ya que estos son los divisores positivos de $7$. A la vista de lo anterior, será $7$ cuando $n-2$ sea múltiplo de $7$, es decir, cuando $n$ sea de la forma $7k+2$. Deducimos que la fracción es irreducible si, y sólo si, $n$ no es de la forma $7k+2$.
Algunas aplicaciones de la factorización
Vamos a usar la descomposición de un número en factores primos para calcular el número de divisores de un número y la suma de éstos.
Supongamos que $n$ es un número natural y lo descomponemos en factores primos como $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$, donde sabemos que $p_1,\ldots,p_r$ son números primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son números naturales. Entonces, si $d$ es un divisor de $n$, se cumplirá que $n=d\cdot d'$ para cierto $d'\in\mathbb{N}$ (que también es divisor de $n$). Factorizando $d$ y $d'$ y multiplicando sus factorizaciones, llegamos a que $d$ y $d'$ tienen que tener los mismos factores primos que $n$, es decir, $d=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}$ y $d'=p_1^{f'_1}p_2^{f'_2}\cdots p_r^{f'_r}$, donde cada $f_k$ puede ser cero y $f_k+f_k'=e_k$. Por tanto, los divisores de $n$ son los números de la forma
\[p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}, \text{ donde }0\leq f_k\leq e_k.\]
De aquí podemos sacar algunas conclusiones.
- Si tenemos factorizado $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, cada divisor de $n$ se corresponde con elegir $f_1,\ldots,f_r$ tales que $0\leq f_k\leq e_k$ para $1\leq k\leq r$. Por lo tanto, $f_1$ puede tomar los valores $0,1,\ldots,e_1$ (un total de $e_1+1$ posibilidades), $f_2$ puede tomar los valores $0,1,\ldots, e_2$ (un total de $e_2+1$ posibilidades) y así con todos los $f_k$. En consecuencia, el número total de divisores de $n$ (que es el número total de posibilidades) es
\[\text{Número de divisores de }n\ \rightarrow\ (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).\]
- Otra forma más ingeniosa de ver los divisores de $n$ es que cada divisor de $n$ es uno de los monomios que surgen al desarrollar el siguiente producto:
\[(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{e_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^{e_2})\cdots(1+p_r+p_r^2+\cdots+p_r^{r_2})\]
(recordemos que el producto de paréntesis se puede hacer como la suma de los productos de elegir en cada uno de los paréntesis uno de los sumandos). Esta forma de ver los sumandos tiene la ventaja de que el valor de la expresión anterior es realmente la suma de todos los divisores de $n$ y que cada paréntesis es la suma de los términos de una progresión geométrica. Por tanto, usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, podemos expresar la suma de los divisores de $n$ como
\[\text{Suma de divisores de }n\ \rightarrow\ \frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_r^{e_r+1}-1}{p_r-1}.\]
Veamos cómo aplicar esto al caso de $n=2520=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$. Como los exponentes son $3$, $2$, $1$ y $1$, el número de divisores de $2520$ es $(3+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=48$ y la suma de éstos es $(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)(1+7)=15\cdot 13\cdot6\cdot 8=9360$.
También tenemos la siguiente regla conocida para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo a partir de la factorización.
Cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo
Supongamos que $a=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ y $b=p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$ son dos números naturales descompuestos como producto de números primos y exponentes mayores o iguales que cero. Entonces,
\[\mathrm{mcd}(a,b)=p_1^{\mathrm{min}(e_1,f_1)}\cdot p_2^{\mathrm{min}(e_2,f_2)}\cdots p_r^{\mathrm{min}(e_r,f_r)},\]
\[\mathrm{mcm}(a,b)=p_1^{\mathrm{max}(e_1,f_1)}\cdot p_2^{\mathrm{max}(e_2,f_2)}\cdots p_r^{\mathrm{max}(e_r,f_r)}.\]
donde $\mathrm{min}(e_i,f_i)$ es el más pequeño de los números $e_i$ y $f_i$ y $\mathrm{max}(e_i,f_i)$ el más grande.
La demostración la dejamos al lector pero antes observemos que el máximo común divisor coincide con la regla comunes elevados al menor exponente y el mínimo común múltiplo con comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Para terminar, simplemente comentar que el método de la factorización es un buen método teórico en general pero en la práctica es muy deficiente porque es muy difícil factorizar un número medianamente grande (es el mismo problema que tenemos para saber si un número es primo o no). Para convencernos, dejamos el siguiente ejercicio: calcular el máximo común divisor de $62773913$ y $77075627$ primero intentando factorizar y después mediante el algoritmo de Euclides... ¡Suerte!.
Ir arribaIr al índiceInformar Problemas que puedes resolver con lo aprendido en esta lecciónProblema 183★★☆☆☆
Dado un número natural $n$, expresamos
\[(3-2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2},\]
donde $a_n$ y $b_n$ son números enteros. Demostrar que $a_n$ y $b_n$ son primos entre sí para todo $n\in\mathbb{N}$.
Pista. Utiliza inducción.
PistaSolución 1Solución. Observemos que
\[a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{2}=(a_n+b_n\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=(3a_n-4b_n)+(-2a_n+3b_n)\sqrt{2},\]
e identificando términos llegamos a que
\begin{eqnarray*}
a_{n+1}&=&3a_n-4b_n,\\
b_{n+1}&=&-2a_n+3b_n.
\end{eqnarray*}
Estas igualdades nos permiten despejar $a_n$ y $b_n$ en términos de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ como en un sistema de ecuaciones lineales, obteniendo:
\begin{eqnarray*}
a_n&=&2a_{n+1}+3b_{n+1},\\
b_n&=&-3a_{n+1}-4b_{n+1}.
\end{eqnarray*}
Entonces, si $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ tienen algún factor común, éste lo será también de sus predecesores $a_{n}$ y $b_n$. Repitiendo el proceso, deducimos que $\mathrm{mcd}(a_{n},b_{n})=\mathrm{mcd}(a_1,b_1)$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Como $a_1=3$ y $b_1=-2$, llegamos a que $\mathrm{mcd}(a_{n},b_{n})=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$, como queríamos demostrar.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 126★★☆☆☆
Encontrar un número que sea múltiplo de $18$ y tenga exactamente $74$ divisores.
Pista. ¿Qué tienen que cumplir los exponentes de los distintos factores primos en la descomposición de un número que cumpla la condición del enunciado?
PistaSolución 1Solución. Si llamamos $n$ al número que buscamos y escribimos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, donde $p_1,\ldots,p_r$ son primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son exponentes naturales, el número de divisores de $n$ viene dado por
\[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).\]
Como $74=2\cdot 37$, deducimos que, o bien $e_1=73$, o bien $e_1=1$ y $e_2=36$. Como el número buscado es múltiplo de $18=2\cdot 3^2$, no puede haber un único primo en la descomposición de $n$ luego hay exactamente dos primos, es decir, $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}$. Para que sea múltiplo de $18$, el exponente de $3$ tiene que ser mayor que uno, luego la única posibilidad es $n=2\cdot 3^{36}$, que es el número buscado.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 72★★☆☆☆
Demostrar que si \(n\in\mathbb{N}\) cumple que \((n-1)!+1\) es divisible entre \(n\), entonces \(n\) es un número primo.
Pista. Demostrar que si \(n\) es compuesto entonces \((n-1)!+1\) no es divisible entre \(n\).
PistaSolución 1Solución. Probaremos el contrarrecíproco: si \(n\) es compuesto entonces \((n-1)!+1\) no es divisible entre \(n\), para lo que veremos que si \(n\neq 4\) y \(n=pq\) con \(1\lt p,q\lt n\), entonces \(n\) es un divisor de \((n-1)!\). Para probar esto último, si \(p\neq q\), tanto \(p\) como \(q\) son factores que aparecen en \((n-1)!\) ya que \(p\lt n\) y \(q\lt n\). Si, por el contrario, \(p=q\), entonces o bien \(p=2\), en cuyo caso \(n=4\) (caso que hemos aislado), o bien \(p\gt 2\) y \(n=p^2\gt 2p\), con lo que tanto \(p\) como \(2p\) aparecen en el desarrollo de \((n-1)!\) y, por tanto, \(n=p^2\) divide a \((n-1)!\). El caso \(n=4\) se comprueba directamente que verifica el enunciado.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 43★★★☆☆
Sean \(a\) y \(b\) dos números naturales primos entre sí. Para cada número natural \(n\in\mathbb{N}\), hallar los posibles valores de \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)\).
Pista. Distinguir si \(n\) es par o impar; en el caso par, usar inducción.
PistaSolución 1Solución. En el caso en que \(n\) sea impar, consideremos el desarrollo
\[a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})\]
que nos dice que \(a^n+b^n\) es divisible por \(a+b\) y, por consiguiente, \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=a+b\).
Vamos a centrarnos ahora en el caso en que \(n\) es par y comencemos con el caso \(n=2\): como \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\), si \(d\) es un número que divide a \(a+b\) y \(a^2+b^2\), se tiene que \(d\) divide a \(2ab\). Si \(d\) tuviera factores en común con \(a\), entonces estos factores también serían comunes a \(b=(a+b)-a\), contradiciendo que \(\text{mcd}(a,b)=1\) luego \(\text{mcd}(d,a)=1\) y, por la misma razón \(\text{mcd}(d,b)=1\), luego necesariamente \(d\) divide a \(2\). Así hemos probado que las únicas posibilidades para \(\text{mcd}(a+b,a^2+b^2)\) son \(1\) y \(2\). En general, tenemos que
\[a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})\]
luego si \(d\) es un factor común a \(a^n+b^n\) y a \(a+b\), entonces divide a \(ab(a^{n-2}+b^{n-2})\). Como \(\text{mcd}(a,d)=\text{mcd}(b,d)=1\) (por el mismo motivo que en el caso \(n=2\)), \(d\) tiene que dividir a \(a^{n-2}+b^{n-2}\) y esto prueba que \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)\) divide a \(\text{mcd}(a+b,a^{n-2}+b^{n-2})\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Como hemos visto que \(\text{mcd}(a+b,a^2+b^2)\leq 2\), deducimos que \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)\leq 2\) para todo \(n\in\mathbb{N}\) par. Concretamente, \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=1\) si \(a+b\) es impar y \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=2\) si \(a+b\) es par.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 40★★★☆☆
Hallar todos los números naturales $n\in\mathbb{N}$ para los que $2^{11}+2^{8}+2^n$ es un cuadrado perfecto.
Pista. Prueba caso por caso para $n\leq 8$ y luego simplifica para $n\geq 9$.
PistaSolución 1Solución. Es fácil ver que para \(n=12\) se tiene que \(2^{11}+2^8+2^{12}=(2^4+2^6)^2\) y se puede comprobar (caso por caso) que para \(n\leq 8\) el número \(2^{11}+2^{8}+2^n\) no es un cuadrado perfecto. Vamos a ver que para \(n\geq9\), el único valor para el que es cuadrado perfecto es \(n=12\). En efecto, si escribimos \(n=m+8\) para cierto \(m\in\mathbb{N}\), tenemos que \(2^{11}+2^{8}+2^n=2^8(2^m+9)\) luego será suficiente ver cuándo \(2^m+9\) es un cuadrado perfecto, es decir, encontrar las soluciones naturales de la ecuación \(2^m+9=a^2\). Observemos que podemos transformar esta ecuación y escribirla como \(2^m=a^2-9=(a-3)(a+3)\) lo que nos dice que \(a-3\) y \(a+3\) tienen que ser potencias de \(2\). Como las únicas potencias de \(2\) que se diferencian en seis unidades son \(2\) y \(8\), tiene que cumplirse que \(a-3=2\) y \(a+3=8\) luego tenemos que \(a=5, m=4\) es la única solución de la ecuación y, por tanto, \(n=m+4=12\) es el único número natural para el que la cantidad el enunciado es un cuadrado perfecto.
Informar InfoIMO shortlist, 1979 problema 23
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problema