Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Las dos últimas cifras de \(a_n\) sólo dependen de las dos últimas cifras de \(a_{n-1}\), luego bastará calcular algunos términos hasta que se repitan las dos últimas cifras. En realidad, esto podría ser un proceso muy largo, pero da la casualidad de que obtenemos la siguiente sucesión de últimas cifras: \[03\to 12\to 56\to 92\to 56\to 92\to 56\to 92\to\ldots\] De esta forma, salvo los dos primeros, vemos que los siguientes se repiten por parejas. En particular, las dos últimas cifras de \(a_{2000}\) son las mismas que las de \(a_4\), luego la respuesta a la pregunta es \(92\).

Solución. Por el paralelismo entre las rectas dadas, está claro que los triángulos $RBP$, $QPC$ y $ABC$ son semejantes ya que tienen sus tres ángulos iguales. También por tener sus lados opuestos paralelos, es fácil darse cuenta de que $ARPQ$ es un paralelogramo, luego $QRQ$ y $PQR$ son triángulos congruentes. Para pasar de $QPC$ a $RBP$ multiplicamos por un factor $k$ (de forma que las áreas se multiplican por $k^2$), luego $BP=k\cdot CP$. De esta forma $BC=(1+k)CP$, luego para pasar de $QPC$ a $ABC$ se multiplica por un factor $1+k$ (y las áreas se multiplican por $(1+k)^2$). Todo esto nos dice que \begin{align*} (1+k)^2\mathrm{Área}(RBP)&=\mathrm{Área}(ABC)=\mathrm{Área}(RBP)+\mathrm{Área}(QPC)+2\mathrm{Área}(ARQ)\\ &=\mathrm{Área}(RBP)+k^2\,\mathrm{Área}(RBP)+2\mathrm{Área}(ARQ), \end{align*} de donde se tiene que $\mathrm{Área}(ARQ)=k\,\mathrm{Área}(RBP)$. Con esto podemos calcular finalmente \begin{align*} \frac{\mathrm{Área}(ARQ)}{\mathrm{Área}(ABC)}=\frac{k\,\mathrm{Área}(RBP)}{(1+k)^2\,\mathrm{Área}(RBP)}=\frac{k}{(1+k)^2}. \end{align*}

Solución. Ordenamos los cuatro dígitos como $a\leq b\leq c\leq d$ (la forma de ordenarlos no afecta a la suma ni al producto) y supongamos que $a+b+c+d\geq abcd$. Si algunos de estos dígitos son cero, se tiene claramente la desigualdad estricta (ya que la suma de los dígitos no puede ser cero). Hay $9^4=6561$ números con los cuatro dígitos distintos de cero, luego $9000=6561=2439$ en los que alguno de los dígitos es cero.

Supongamos ahora que ningún dígito es cero. No puede ser $b\geq 2$ ya que en tal caso se tendría que $abcd\geq bcd\geq 4d\geq a+b+c+d$ y la igualdad no se alcanza pues tendría que ser $a=1$ (en la primera desigualdad) y $a=b=c=d$ (en la última), lo cual es incompatible con $b\geq 2$. Deducimos así que $a=b=1$, lo que nos deja con la desigualdad $2+c+d\geq cd$, que se escribe de forma equivalente como $(c-1)(d-1)\leq 3$.

• Si $c=1$, entonces $d$ puede ser cualquier número entre $1$ y $9$, lo que nos da la solución 1111 además todos los números que son permutación de $111d$. Esto nos da un total de $1+8\cdot 4=33$ soluciones en las cuales no se da nunca la igualdad.
• Si $c=2$, entonces $d$ puede ser 2, 3 o 4 y con el 4 se da la igualdad. Esto nos da 6 soluciones que son permutación de 1122, 12 soluciones que son permutación de 1123 y 12 soluciones que son permutación de 1124. Esto hace un total de 30 soluciones y solo en 12 de ellas se da la igualdad.
• Si $c\geq 3$ ya no hay ninguna solución pues tendría que ser $d\geq 3$.

Recapitulando, tenemos $2439+33+30=2502$ soluciones y solamente en $12$ de ellas se obtiene la igualdad.

Solución. Podemos calcular \begin{align*} f^2(x)&=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b,\\ f^3(x)&=a^2(ax+b)+ab+b=a^3x+a^2b+ab+b,\\ f^4(x)&=a^3(ax+b)+a^2b+ab+b=a^4x+a^3b+a^2b+ab+b,\ldots \end{align*} De esta forma, es claro (se puede probar muy fácilmente por inducción) que aplicar la función $2000$ veces resulta en la función lineal $$f^{2000}(x)=a^{2000}x+(a^{1999}+a^{1998}+\ldots+a+1)b.$$ Para que la función sea igual a la identidad para todo valor de $x$, tiene que ser el coeficiente de $x$ igual a $1$ y el término independiente $0$ (igualdad de polinomios). La condición $a^{2000}=1$ nos lleva a que $a=\pm 1$:

• Si $a=1$, entonces el término independiente es $2000b$, luego tiene que ser $b=0$.
• Si $a=-1$, entonces el término independiente es automáticamente cero.

Esto nos dice que las funciones que buscamos son $f(x)=x$ y $f(x)=-x+b$ para cualquier $b\in\mathbb{R}$.

Nota. El resultado es cierto cambiando $2000$ por cualquier número par. Si lo cambiamos por un número impar, entonces la única solución es la identidad $f(x)=x$.

Solución. La situación es como se indica en la figura. Como dentro del mismo medio (agua o tierra) la menor distancia la realiza la línea recta, el camino óptimo recorrerá un trayecto rectilíneo en agua y otro rectilíneo en tierra (podemos suponer que el trayecto sobre el agua se realiza al principio sin perder generalidad). En cualquier caso, llamando a $x$ la distancia indicada en la figura, recorreremos $500-x$ en tierra y $\sqrt{10000+x^2}$ por agua según el teorema de Pitágoras. Dados los costes del enunciado, la función que nos da el coste total viene dada por \[f(x)=9(500-x)+15\sqrt{10000+x^2}.\] El mínimo de esta función se puede obtener haciendo $f'(x)=0$, pero vamos a razonar sin derivadas. Para ello, vamos a considerar la ecuación $f(x)=a$ para cierto valor $a$. Podemos desarrollar \begin{align*} f(x)=a&\ \Leftrightarrow\ 4500-9x-a=15\sqrt{10000+x^2}\\ &\ \Leftrightarrow\ (4500-9x-a)^2=225(10000+x^2). \end{align*} Desarrollando y usando la fórmula para la ecuación de segundo grado, tenemos que \[x=\frac{3a-13500\pm 5\sqrt{18810000-9000a+a^2}}{48}.\] Esta expresión nos dice que habrá valores de $x$ tales $f(x)=a$ si $18810000-9000a+a^2=(a-3300)(a-5700)\geq 0$. Como $a\leq 3300$ nos da valores negativos de $x$, deducimos de esta desigualdad que $a\geq 5700$, lo que nos da $x\geq 75$ para la solución de la ecuación de segundo grado con signo $+$. En definitiva, el valor mínimo ocurre para $x=75$ y su coste es $5700$ euros. Esto nos da una longitud (en metros) de \[500-x+\sqrt{100^2+x^2}=425+\sqrt{100^2+75^2}=425+25\sqrt{4^2+3^2}=550.\]

Solución. Llamando $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces, podemos expresar \begin{align*} x^3-x+k&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma. \end{align*} Identificando los términos con $x^2$, obtenemos que $\alpha+\beta+\gamma=0$, luego podemos escribir $\gamma=-\beta-\alpha$. Ahora bien, los términos con $x$ nos dan \[-1=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\alpha\beta-\beta(\alpha+\beta)-\alpha(\alpha+\beta),\] de donde sacamos que $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=1$. Ahora hay que darse cuenta de que esta ecuación no tiene muchas soluciones enteras; por ejemplo, podemos reescribirla como $\alpha^2+(\alpha+\beta)^2+\beta^2=2$, lo que nos asegura que $\alpha$ y $\beta$ están en el intervalo $[-1,1]$. Probando los distintos valores, llegamos a que solo puede ser $(\alpha,\beta)=(1,0)$ o bien $(\alpha,\beta)=(0,1)$. Esto nos da $\gamma=-\alpha-\beta=-1$. El término independiente del polinomio nos dice que $k=-\alpha\beta\gamma=0$.

Hemos demostrado así que la única solución es $k=0$.