Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamemos $s=a+b$, $m=\mathrm{mcm}(a,b)$ y $d=\mathrm{mcd}(a,b)$. Veamos que también podemos calcular $d$ como $d=\mathrm{mcd}(s,m)$. Para ello, supongamos que $p^e$ es la mayor potencia de un primo $p$ que divide tanto a $a$ como a $b$. Entonces, $p^e$ divide a $m$ ya que $m$ es múltiplo de $a$ y $b$ y también se tiene que $p^e$ divide a $a+b$ por dividir a cada uno de los sumandos. Falta por ver que $p^{e+1}$ no divide simultáneamente a $s$ como a $m$. Por reducción al absurdo, si $p^{e+1}$ divide a $m$ es porque divide a alguno de los números $a$ o $b$ (el mínimo común múltiplo consiste en el producto de primos elevados al mayor exponente). En tal caso, como $p^{e+1}$ divide a $s=a+b$ y divide a alguno de los sumandos, debe necesariamente dividir al otro, pero esto contradice que hemos supuesto que $p^e$ es la mayor potencia de $p$ que divide tanto a $a$ como a $b$.

Una vez probado esto, usando la igualdad conocida $dm=ab$, tenemos que \[a+b=s,\qquad ab=m\cdot\mathrm{mcd}(s,m).\] Así, tenemos que $a$ y $b$ son soluciones de la ecuación de segundo grado \[x^2-sx+m\cdot\mathrm{mcd}(s,m)=0.\] En el caso que nos pide el enunciado, puede calcularse fácilmente por el algoritmo de Euclides $\mathrm{mcd}(3972,985928)=4$, luego $a$ y $b$ son las soluciones de $x^2-3972x+3943712=0$. Esto nos da (después de algunas laboriosas cuentas) que los números son $1964$ y $2008$.