Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una sucesión pucelana es una sucesión creciente de dieciséis números impares positivos consecutivos cuya suma es un cubo perfecto. ¿Cuántas sucesiones pucelanas están formadas únicamente por números de tres cifras?

Sea $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{Z}$ la función que a cada elemento $n\in\mathbb{N}_0$ le asocia como imagen el entero $f(n)$ definido por \[f(n)=-f\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)-3\left\{\frac{n}{3}\right\}.\] Determina el menor entero $n$ tal que $f(n)=2010$.

Nota. $\mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos y $\mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Además, $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$ y $\{x\}$ su parte decimal.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $P$ la intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$ y supongamos que cumple $\angle APD=60^\circ$. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Hallar el mayor número real positivo $k$ tal que \[EG+3HF\geq kd+(1-k)s,\] siendo $s$ el semiperímetro de $ABCD$ y $d$ la suma de las longitudes de las diagonales.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos. Demostrar que \[\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\geq\frac{15}{8}.\]

Sea $P$ un punto cualquiera de la bisectriz del ángulo $A$ de un triángulo $ABC$ y sean $A',B',C'$ puntos de las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente, tales que $PA'$ es perpendicular a $BC$, $PB'$ es perpendicular a $CA$ y $PC'$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $PA'$ y $B'C'$ se cortan sobre la mediana $AM$, siendo $M$ el punto medio de $BC$.

Sea $p$ un número primo y $A$ un subconjunto infinito de los números naturales. Sea $f_A(n)$ el número de soluciones distintas de la ecuación $x_1+x_2+\ldots+x_p=n$ con $x_1,x_2,\ldots,x_p\in A$. ¿Existe algún entero $N$ tal que $f_A(n)$ sea constante para todo $n\gt N$?