Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Nacional |
| OIM |
| OME Andalucía |
| Retos UJA |
Todos los problemas
La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
XLIX Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 2013
Sesión 1 — Bilbao, 5 de abril de 2013
Problema 217
Sean $a$, $b$ y $n$ enteros positivos tales que $ab-1=n^2$. Demostrar que
$$|a-b|\geq\sqrt{4n-3}.$$
Indicar justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.
pistasolución 1info
Pista. Observa que $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$.
Solución. Podemos suponer que $a>b$ y quitar el valor absoluto. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que $a-b\lt\sqrt{4n-3}$, de donde deducimos que
$$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\lt 4n-3+4(1+n^2)=(2n+1)^2$$
Ya que todos estos números son positivos, deducimos que $a+b\lt 2n+1$, esto es, $a+b\leq 2n$. Usando entonces la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica deducimos que
$$1+n^2=ab\lt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{4n^2}{4}=n^2{,}$$
lo cual es una contradicción.
Supongamos ahora que se da la igualdad, con lo que tenemos dos igualdades para trabajar: $ab=1+n^2$ y $(a-b)^2=4n-3$. Entonces, $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(2n+1)^2$, luego $a+b=2n+1$. Por otro lado, tenemos que $4n-3$ tiene que ser un cuadrado impar, pongamos $(2m+1)^2$ para cierto entero $m$, de donde $n=m^2+m+1$. Finalmente, de las ecuaciones $a+b=2n+1$ y $a-b=\sqrt{4n-3}$, despejamos $a$ y $b$ en función de $m$. Tenemos así que \begin{eqnarray*} n&=&m^2+m+1\\ a&=&m^2+2m+2\\ b&=&m^2+1 \end{eqnarray*} para cierto entero $m\geq 0$. Como estas soluciones cumplen la igualdad para todo $m$, deducimos que son las únicas.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 942
Determina todos los enteros positivos $n$ para los que
\[S_n=x^n+y^n+z^n\]
es constante, cualesquiera que sean $x,y,z$ reales tales que $xyz=1$ y $x+y+z=0$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 943
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $n\geq k\geq 3$. Se consideran $n+1$ puntos en el plano no alineados entre sí tres a tres. A cada segmento que une entre sí dos de esos puntos se le asigna un color de entre $k$ colores dados. Se dice que un ángulo es bicolor si tiene por vértice uno de los $n+1$ puntos y por lados dos de los segmentos anteriores que sean de distinto color. Demostrar que existe una coloración tal que el número de ángulos bicolores es estrictamente mayor que
\[n\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\binom{k}{2}.\]
Nota. $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2 — Bilbao, 6 de abril de 2013
Problema 944
¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma
\[a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11},\]
para $a,b,c,d,e$ enteros positivos? Razonar la respuesta.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 945
Estudia si existe una sucesión estrictamente creciente de enteros $0=a_0\lt a_1\lt a_2\lt \ldots$ que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes:
- Todo número natural puede escribirse como suma de dos términos, no necesariamente distintos, de la sucesión.
- Para cada entero positivo $n$, se cumple que $a_n\gt\frac{n^2}{16}$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 946
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que
\[AB+CD=\sqrt{2}\,AC\qquad\text{y}\qquad BC+DA=\sqrt{2}\,BD.\]
¿Qué forma tiene dicho cuadrilátero?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2024. Esta página ha sido creada mediante software libre