Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Nacional |
| OIM |
| OME Andalucía |
| Retos UJA |
Todos los problemas
La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
LI Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 2015
Sesión 1 — Badajoz, 20 de marzo de 2015
Problema 245
Dados dos puntos en el plano de coordenadas enteras, supongamos que por ellos pasa la gráfica de una función polinómica con coeficientes enteros. Probar que si la distancia entre los dos puntos es un número entero, entonces el segmento que los une es paralelo al eje de abscisas.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza que si $P$ es un polinomio con coeficientes enteros y $a,b\in\mathbb{Z}$, entonces $P(b)-P(a)$ es divisible entre $b-a$.
Solución. Llamemos $P(x)$ al polinomio con coeficientes enteros y tomemos los dos puntos como $(a,P(a))$ y $(b,P(b))$ para ciertos enteros $a,b\in\mathbb{Z}$. Si $a=b$ el resultado que buscamos es obvio, luego supondremos en lo que sigue que $a\neq b$.
La distancia $d$ entre estos dos puntos viene dada por $d^2=(b-a)^2+(P(b)-P(a))^2$. Dividiendo entre $(b-a)^2$ esta igualdad llegamos a que $$\left(\frac{d}{b-a}\right)^2=1+\left(\frac{P(b)-P(a)}{b-a}\right)^2.$$ Es conocido que $P(b)-P(a)$ es un entero divisible entre $b-a$, por ser $P$ de coeficientes enteros, luego el miembro de la derecha de la igualdad anterior es entero y, por tanto, también es entero el de la izquierda. Por consiguiente, tenemos dos enteros cuadrados perfectos que difieren en una unidad, luego han de ser $0$ y $1$, es decir, $$\frac{d}{b-a}=\pm 1,\qquad \frac{P(b)-P(a)}{b-a}=0$$ (el signo $\pm$ dependerá de si $b\gt a$ ó $b\lt a$). De aquí deducimos que $P(b)=P(a)$ y, por tanto, el segmento que une $(a,P(a))$ y $(b,P(b))$ es paralelo al eje de abscisas.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 985
En el triángulo $ABC$, sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto del circuncentro de $ABC$. Demostrar que
- La suma de los cuadrados de los segmentos de tangentes trazadas desde $A$ y $A'$ a la circunferencia inscrita en $ABC$ es igual a $4R^2-4Rr-2r^2$, siendo $R$ y $r$ los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita de $ABC$, respectivamente.
- La circunferencia de centro $A'$ y radio $A'I$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un punto $L$ tal que $AL=\sqrt{AB\cdot AC}$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 986
En la pizarra está escrito un entero $N\geq 2$. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente, empezando por $A$. Cada jugador en su turno reemplaza el número existente por el que resulte de realizar una de estas dos operaciones: restar $1$ o dividir entre $2$, siempre que se obtenga un resultado entero positivo. El jugador que llegue al número $1$ gana. Determinar razonadamente si el menor número par $N$ que le exige a $A$ jugar al menos $2015$ veces para ganar (no se cuentan en esto los turnos de $B$).
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2 — Badajoz, 21 de marzo de 2015
Problema 987
Todas las caras de un poliedro son triángulos. A cada uno d elos vértices de este poliedro se le asigna de forma independiente uno de tres colores: verde, blanco o negro. Decimos que una cara es extremeña si sus tres vértices son de distintos colores (uno verde, otro blanco y otro negro, como la bandera de Extremadura). ¿Es cierto que, independientemente de cómo coloreemos los vértices, el número de caras extremeñas de este poliedro es siempre par?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 988
Sean $p$ y $n$ enteros positivos tales que $p$ es primo, $n\geq p$ y $1+np$ es un cuadrado perfecto. Probar que $n+1$ es suma de $p$ cuadrados perfectos no nulos.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 989
Sean $M$ y $N$ puntos del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $BM=CN$, estando $M$ en el interior del segmento $BN$. Sean $P$ y $Q$ puntos que están respectivamente en los segmentos $AN$ y $AM$, tales que $\angle PMC=\angle MAB$ y $\angle QNB=\angle NAC$. ¿Es cierto que $\angle QBC=\angle PBC$?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2024. Esta página ha sido creada mediante software libre