Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen dos progresiones de números reales, una aritmética $\{a_n\}_{n\geq 1}$ y otra geométrica $\{g_n\}_{n\geq 1}$ no constante. Se verifica que $a_1=g_1\neq 0$, $a_2=g_2$ y $a_{10}=g_3$. Estudiar si, para cada entero positivo $p$, existe un entero positivo $m$ tal que $g_p=a_m$.

Sea $p$ un número primo positivo dado. Demostrar que existe un entero $\alpha$ tal que $\alpha(\alpha-1)+3$ es divisible por $p$ si y sólo si existe un entero $\beta$ tal que $\beta(\beta-1)+25$ es divisible por $p$.

Sea $A_1$ el punto diametralmente opuesto al vértice $A$ del triángulo $ABC$ en la circunferencia circunscrita y sea $A'$ el punto en el que la recta $AA_1$ corta al lado $BC$. La perpendicular a $AA'$ trazada por $A'$ corta a los lados $AB$ y $AC$ (o a sus prolongaciones) en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que los puntos $A$, $M$, $A_1$ y $N$ están en una circunferencia cuyo centro se encuentra en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$.

Sea $m\geq 1$ un entero positivo y sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos estrictamente comprendidos entre $m^2$ y $m^2+m$. Hallar todos los enteros $c$ estrictamente comprendidos entre $m^2$ y $m^2+m$ que dividen al producto $ab$.

¿Cuántas permutaciones $(a_1,\ldots,a_n)$ del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ hay tales que $2(a_1+a_2+\ldots+a_m)$ es divisible por $m$ para todo $m\in\{1,\ldots,n\}$?

Sea $n\geq 2$ un entero. Determinar el menor número real positivo $\gamma$ que cumple el siguiente enunciado:

Para todos los reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ y $0\leq y_1,y_2,\ldots,y_n\leq\frac{1}{2}$ tales que \[x_1+x_2+\ldots+x_n=y_1+y_2+\ldots+y_n=1,\] se tiene que \[x_1x_2\cdots x_n\leq\gamma(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n).\]