Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Tomemos un plano $\Pi$ que no sea paralelo a ninguna de las rectas que unen dos de los $4n$ puntos dados (más adelante justificamos por qué existe tal plano). Consideremos un plano $\Pi_0$ paralelo a $\Pi$ tal que los $4n$ puntos quedan en uno de los semiespacios definidos por $\Pi_0$. Ahora cuando movemos $\Pi_0$ de forma paralela, va encontrando a los puntos uno a uno luego existirán planos $\Pi_1,\ldots,\Pi_n$ paralelos a $\Pi_0$ de forma que entre $\Pi_i$ y $\Pi_{i+1}$ hay exactamente cuatro puntos. Al considerar todos los segmentos que determinan tales cuatro puntos, se forma una pirámide también contenida entre $\Pi_i$ y $\Pi_{i+1}$, luego no hay intersección entre las $n$ pirámides así construidas.

Para justificar por qué existe el plano $\Pi$, consideremos las direcciones de todas las rectas que unen dos de los puntos como un conjunto $D$ finito en la esfera unidad. Habrá una circunferencia $\Gamma$ de radio $1$ contenida en la esfera que no corta a $D$: para encontrarla, basta considerar dos puntos diametralmente opuestos que no están en $D$ y el haz de círculos que pasan por esos dos puntos ya que alguno de los círculos de este haz no cortará a $D$, que es finito. Entonces, el plano $\Pi$ que contiene a $\Gamma$ no es paralelo a ninguna de las direcciones determinadas por las rectas.