Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
LIV Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 2018
Sesión 1 — Jaén, 16 de marzo de 2018
Problema 1053
Determina todos los enteros positivos $x$ tales que $2x+1$ es un cuadrado perfecto pero entre los números $2x+2,2x+3,\ldots,3x+2$ no hay ningún cuadrado perfecto.
pistasolución 1info
Pista. Si ponemos $2x+1=n^2$ para cierto entero positivo $n$, la segunda condición se puede escribir como $3x+2\lt (n+1)^2$.
Solución. Escribamos $2x+1=n^2$ para cierto entero positivo $n$. El siguiente cuadrado perfecto es $(n+1)^2=n^2+2n+1=2x+2n+2$, luego la condición de que los siguientes $x+1$ números no contengan un cuadrado, se puede escribir como $3x+2\lt 2x+2n+2$, es decir, $x\lt 2n$. Por lo tanto, tenemos que $n^2=2x+1\lt 4n+1$, o equivalentemente $n^2-4n-1\lt 0$. Resolviendo la igualdad, se llega fácilmente a que esta inecuación equivale a que $2-\sqrt{5}\lt n\lt 2+\sqrt{5}\approx 4.2$. Como $n$ tiene que ser un número impar (su cuadrado es impar) y positivo, tenemos solo las posibilidades $n=1$ y $n=3$. Tenemos que descartar también $n=1$ puesto que nos daría $x=0$, que no es positivo.
Comprobamos finalmente que $n=3$ sí es válido ya que nos da $x=4$ y entre los números entre $2x+2=10$ y $3x+2=14$ efectivamente no hay cuadrados perfectos. De esta forma, hemos probado que $x=4$ es la única solución al problema.
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Problema 1054
Se colocan $2n+1$ fichas, algunas de color blanco y otras de color negro, en una fila. Se dice que una ficha está equilibrada si el número de fichas blancas a su izquierda más el número de fichas negras a su derecha es $n$. Determinar razonadamente si el número de fichas que están equilibradas es par o impar.
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Problema 1055
Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ y sea $M$ un punto arbitrario del lado $AB$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AMO$ interseca a la recta $AC$ en $A$ y en $K$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $BOM$ interseca a la recta $BC$ en $B$ y en $N$. Demostrar que
\[\text{Área}(MNK)\geq\tfrac{1}{4}\text{Área}(ABC)\]
y determinar el caso en que se alcanza la igualdad.
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Sesión 2 — Jaén, 17 de marzo de 2018
Problema 1056
Los puntos de una superficie esférica de radio $4$ se pintan con cuatro colores distintos. Probar que existen dos puntos sobre la superficie que tienen el mismo color y que están a distancia $4\sqrt{3}$ o bien a distancia $2\sqrt{6}$.
Nota. La distancia entre dos puntos de la esfera es la longitud del segmento rectilíneo que los une en el espacio.
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Problema 1057
Sean $a$ y $b$ dos números positivos primos entre sí. Se dice que un entero positivo $n$ es débil si no puede ser escrito en la forma $n=ax+by$ para algunos enteros $x$ e $y$ no negativos. Probar que si $n\lt\frac{ab}{6}$ es débil, entonces existe un entero $k\geq 2$ tal que $kn$ también es débil.
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Problema 1058
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que
\[f(x+f(y))=y f(xy+1)\]
para todo $x,y\gt 0$.
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