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LV Olimpiada Matemática Española (fase local) — 2019

Sesión 1 —  Viernes 18 de enero de 2019 (mañana)

Problema 1073
Para cada número de cuatro cifras $\overline{abcd}$, demostrar que $S=\overline{abcd}-\overline{dcba}$ es múltiplo de $37$ si, y solo si, las dos cifras centrales del número $\overline{abcd}$ son iguales.

Nota. En este problema, $\overline{abcd}$ denota al entero de cuatro cifras en que $a$ son las unidades de millar, $b$ las centenas, $c$ las decenas y $a$ las unidades.

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Problema 1074
Demuestra que para todo $n\geq 2$ podemos encontrar $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$, todos ellos distintos de $1$, de manera que \[x_1x_2\cdots x_n=\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdots\frac{1}{1-x_n}.\]
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Problema 1075
El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $AB$ y $CD$. Sabemos que $AB=6$, $AD=5$ y $\angle DAB = 60^\circ$. Se lanza un rayo de luz desde $A$ que rebota en $CB$ en el punto $E$ e interseca en $AD$ en el punto $F$. Si $AF=3$, calcula el área del triángulo $AFE$.

Nota. Cuando el rayo rebota en $BC$, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

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Sesión 2 —  Viernes 18 de enero de 2019 (tarde)

Problema 1076
Sea $p\geq 3$ un número primo y consideramos el triángulo rectángulo de cateto mayor $p^2-1$ y cateto menor $2p$. Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor del triángulo y que es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo. Encuentra los valores de $p$ para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.
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Pista. Utiliza la tangencia y el teorema de Pitágoras para expresar el radio de la semicircunferencia como una función de $p$.
Solución. Supongamos que el triángulo es $ABC$, con ángulo recto en $B$ y $AB=p^2-1$ y $BC=2p$, luego el teorema de Pitágoras nos da la hipotenusa $AC=p^2+1$. La semicircunferencia es tangente a $AC$ en un punto $T$ y a $BC$ en $B$. Si llamamos $O$ al centro de la semicircunferencia y $r$ a su radio, entonces $OB=OT=r$ y $TC=BC=2p$. Usando el teorema de Pitágoras, llegamos al sistema \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=AB=p^2+1,\\AO^2=AT^2+r^2=(AC-CT)^2+r^2=(p-1)^4+r^2.\end{array}\right.\] Factorizando $(p-1)^4=AO^2-r^2=(AO+r)(AO-r)=(p^2+1)(AO-r)$, el sistema queda \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=p^2+1,\\AO-r=\frac{(p-1)^4}{p^2-1}=\frac{(p-1)^3}{p+1}.\end{array}\right.\] Restando ambas ecuaciones y simplificando llegamos fácilmente a que \[r=\frac{2p(p-1)}{p+1}.\] Para que este número sea entero, como $p$ y $p+1$ son primos relativos, se debe cumplir que $p+1$ divide a $2(p-1)=2(p+1)-4$, luego también debe dividir a $4$. El único primo en estas condiciones es $p=3$, que claramente cumple la propiedad que buscamos ya que nos da el valor entero $r=3$.
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Problema 1077
¿Existen $m,n$ números naturales de forma que \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2\] es un número primo?
pistasolución 1info
Pista. Intenta una factorización de la forma $(am+bn+c)(dm+en+f)$.
Solución. La forma más estándar de probar si ese número es primo o compuesto es buscar algún primo tal que esa expresión sea siempre múltiplo del primo o bien buscar una factorización como polinomios. Veamos que se puede hacer esto último. Como se trata de un polinomio de segundo grado, vamos a intentar expresar: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(am+bn+c)(dm+en+f).\] Desarrollando el producto de los dos factores e igualando coeficientes, obtenemos directamente del término independiente que $cf=0$, luego supondremos $f=0$ sin pérdida de generalidad. También tenemos que $be=1$ del término independiente, luego supondremos también que $b=e=1$ cambiando el signo de ambos factores si fuera necesario. El término en $n$ nos da ahora $c=1$ y luego el término en $m$ nos da $d=2019$. Finalmente, el término en $m^2$ nos da $a=-1$ y hemos llegado a la siguiente factorización: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(1-m+n)(2019 m+n).\] Como $m$ y $n$ son naturales (positivos), se tiene que $1-m+n\lt 2019m+n$. Dado que no está garantizado que la expresión del enunciado sea positiva (véase la nota) y dado que $2019m+n\gt 1$, tenemos dos posibilidades:
  • Si $1-m+n=1$, entonces $m=n$, lo que nos dice que la expresión del enunciado es igual a $2020m$, que claramente no es primo.
  • Si $1-m+n=-1$, entonces despejamos $n=m-2$. Sustituyendo en la expresión del enunciado, esta queda igual a $2(1-1010m)$, que tampoco es primo.

Deducimos así que la expresión no da un número primo sean cuales sean los valores naturales de $m$ y $n$.

Nota. Si consideramos que $0$ es un número natural, entonces tenemos que para $m=0$ y $n=1$, se tiene como resultado $2$, que sí es primo. Se supone que en la prueba se comunicó que $0$ no es un número natural en el contexto de este problema.

Por otro lado, la expresión del enunciado no es necesariamente positiva (por ejemplo para $n=m-2$, como hemos visto, se obtienen valores negativos). Por este motivo, hemos descartado también la posibilidad de que se trate de un primo negativo (en cuyo caso solo admite factorizaciones de la forma $(-1)\cdot p$ y $1\cdot (-p)$.

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Problema 1078
Fijamos un número natural $k\geq 1$. Encuentra todos los polinomios $P(x)$ que cumplan \[P(x^k)-P(kx)=x^kP(x)\] para todo $x\in\mathbb{R}$.
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Pista. Analiza el grado de ambos miembros de la igualdad.
Solución. Si $P(x)$ es constante, entonces dicha constante debe ser cero pues en caso contrario el miembro de la izquierda es constante y el de la derecha no. Supongamos entoncds que $P(x)$ no es constante y llamemos $n\geq 1$ a su grado. El miembro de la izquierda tiene grado $nk$ y el de la derecha $n+k$, luego debe ser $nk=n+k$, que se puede reescribir como $(n-1)(k-1)=1$. Esto nos dice que debe ser $n=k=2$ ya que se trata de enteros positivos. Pongamos entonces que $P(x)=ax^2+bx+c$, luego \begin{align*} 0=P(x^2)-P(2x)-x^2P(x)&=(ax^4+bx^2+c)-(4ax^2+2bx+c)-x^2(ax^2+bx+c)\\ &=-x(bx^2+(4a+c-b)x+2b). \end{align*} Para que se dé esta igualdad de polinomios, tiene que ser $b=0$ y $4a+c=0$, lo que nos da todos los polinomios de la forma $P(x)=a(x^2-4)$.

Hemos probado así que tenemos la solución $P(x)=0$, válida para todo $k\geq 1$, y la solución $P(x)=a(x^2-4)$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$, válida solo para $k=2$.

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Sesión 3 —  Sábado 19 de enero de 2019 (mañana)

Problema 1079
En el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que $1000000$, indica si es mayor la cantidad de números que pueden expresarse de la forma $a^3 +mb^2$, con $a,b\in\mathbb{N}$ y $m\in\{0,2,4,6,8\}$ o la cantidad de números que no pueden expresarse de esa manera.
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Pista. Fíjate que te puedes restringir a 500000 elecciones posibles de la terna $(a,b,m)$ o incluso menos.
Solución. Observemos que podemos restringirnos a $500000=5\cdot 100\cdot 1000$ elecciones de la terna $(a,b,m)$ suponiendo que $a$ está entre $1$ y $100$, $b$ está entre $1$ y $1000$ y $m$ tiene 5 valores posibles. Por tanto, habrá como máximo $500000$ números que pueden expresarse de esta manera. No obstante, algunos de estos números se pasan de $1000000$ (por ejemplo, para $(a,b,m)=(100,1000,8)$), luego realmente habrá menos de la mitad de números menores o iguales que 1000000 que se expresan de esta manera.

Nota. Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que hay números que se expresan de dos formas distintas. Por ejemplo, las ternas $(a,b,m)=(4,2,2)$ y $(a,b,m)=(2,4,4)$ producen el mismo número $a^3+mb^2=72$.

Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que para $m=0$ no se producen $100000$ valores distintos sino solo $100$ ya que el valor de $b$ no es relevante.

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Problema 1080
Prueba que, para todo $a,b,c\gt 0$, se cumple que \[\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}\geq \frac{c}{b}-\frac{c^2}{a}.\] ¿En qué caso se cumple la igualdad?
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Pista. Factoriza la expresión $\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}$ poniendo previamente denominador común.
Solución. Observemos que \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}&=\frac{a^3-a^2 b c-a b^2 c^2+b^3 c^3}{a b^3 c}\\ &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a^3}{b^3c^3}-\frac{a^2}{b^2c^2}-\frac{a}{bc}+1\right). \end{align*} Obtenemos así el polinomio $x^3-x^2-x+1$ tras el cambio $x=\frac{a}{bc}$. Este polinomio se puede factorizar como $(x-1)^2(x+1)$, luego podemos proseguir factorizando como \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a} &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{bc}-1\right)^2\left(\frac{a}{bc}+1\right)\geq 0. \end{align*} La igualdad se da cuando el factor $\frac{a}{bc}-1$ se anula (ya que el resto de factores son estrictamente positivos), es decir, cuando $a=bc$.
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Problema 1081
Consideramos un triángulo $ABC$ y un punto $D$ en el lado $AC$. Si $AB=DC=1$, $\angle DBC=30^\circ$ y $\angle ABD=90^\circ$, calcular el valor de $AD$.
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