Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un conjunto de números enteros $T$ es orensano si existen enteros $a\lt b\lt c$ tales que $a$ y $c$ pertenecen a $T$ y $b$ no pertenece a $T$. Hallar el número de subconjuntos $T$ de $\{1,2,\ldots,2019\}$ que son orensanos.

Determinar si existe un conjunto finito $S$ formado por números primos positivos de manera que para cada entero $n\geq 2$, el número $2^2+3^2+\ldots+n^2$ sea múltiplo de algún elemento de $S$.

Los números reales $a,b,c$ verifican que el polinomio \[p(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+c\] tiene exactamente tres raíces reales distintas; estas raíces son iguales a $\tan(y)$, $\tan(2y)$ y $\tan(3y)$ para algún número real $y$. Hallar todos los posibles valores de $y$ verificando $0\leq y\lt\pi$.

Calcular todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que \[3^42^3(x^2+y^2)=x^3y^3.\]

Dado un par de números reales $(x,y)$ tales que $0\leq x\leq y\leq 1$, sea \[M(x,y)=\max\{xy,1-x-y+xy,x+y-2xy\}.\] Hallar el mínimo valor que puede tomar $M(x,y)$ para todos estos pares $(x,y)$.

En el triángulo escaleno $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $D$. Las rectas que pasan por $D$ y son tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ACD$ cortan a las rectas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Si $BE$ y $CF$ se cortan en $G$, demostrar que $\angle EDG=\angle ADF$.