Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sean $0\lt\alpha\leq\beta\leq\gamma$ las tres raíces. Por tanto \begin{align*} p(x)&=x^3+ax^2+bx+a=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma. \end{align*} Igualando coeficientes obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=-a,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\qquad \alpha\beta\gamma=-a.\] Ahora bien, como los números están en progresión aritmética, podemos escribir $\alpha=\beta-d$ y $\gamma=\beta+d$, siendo $d\geq 0$. Sustituyendo estos valores, las ecuaciones de Cardano-Vieta se pueden reescribir de la siguiente manera: \[3\beta=-a,\qquad 3\beta^2-d^2=b,\qquad \beta(\beta^2-d^2)=-a.\] De la primera y la tercera obtentemos que $\beta^2-d^2=3$. Para terminar, distinguiremos casos dependiendo de cuál de las raíces es igual a $\frac{7}{4}$, información que aún no hemos usado.

• Si $\beta+d=\frac{7}{4}$, entonces la ecuación $3=\beta^2-d^2=(\beta+d)(\beta-d)$ nos dice que $\beta-d=\frac{12}{7}$. Sumando y restando a esta última la ecuación $\beta-d=\frac{7}{4}$, llegamos fácilmente a que $\beta=\frac{97}{56}$ y $d=\frac{1}{56}$. Usando ahora las otras ecuaciones, se tiene que $a=-3\beta=\frac{-291}{56}$ y $b=3\beta^2-d^2=\frac{14113}{1568}$.
• Si $\beta=\frac{7}{4}$, entonces $d^2=\beta^2-3=\frac{1}{16}$, luego $d=\frac{1}{4}$ ya que habíamos supuesto que $d\geq 0$. Por lo tanto, $a=-3\beta=\frac{-21}{4}$ y $b=3\beta^2-d^2=\frac{73}{8}$.
• Si $\beta-d=\frac{7}{4}$, entonces la ecuación $3=\beta^2-d^2=(\beta+d)(\beta-d)$ nos dice que $\beta+d=\frac{12}{7}$, de donde $d=\frac{-1}{56}$. Esto no nos da ninguna solución ya que habíamos supuesto que $d\geq 0$.

En resumen, hay dos polinomios almerienses que tienen a $\frac{7}{4}$ por raíz: \[p_1(x)=x^3-\frac{291}{56}x^2+\frac{14113}{1568}x-\frac{291}{56}\qquad\text{y}\qquad p_2(x)=x^3-\frac{21}{4}x^2+\frac{73}{8}x-\frac{21}{4}.\]