Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el número es $n=1000a+100b+10c+d$, siendo $a$ la cifra de las unidades de millar, $b$ la de las centenas, $c$ la de las decenas y $d$ la de las unidades. Los números que se obtienen al insertar un cero son los cuatro siguientes: \begin{align*} N_1&=10000a+100b+10c+d\\ N_2&=10000a+1000b+10c+d\\ N_3&=10000a+1000b+100c+d\\ N_4&=10000a+1000b+100c+10d. \end{align*} Como son todo múltiplos de $7$, $N_4-N_3=9d$ también lo es, luego tiene que ser $d=7$ o bien $d=0$. De la misma forma, $N_3-N_2=90c$ es múltiplo de $7$, luego $c=7$ o $c=0$. También $N_2-N_1=900b$ nos da que $b=0$ o $b=7$. Finalmente, $10N_1-N_4=90000a$ nos dice que $a=0$ o $a=7$, pero no puede ser $a=0$ porque entonces el número no sería de cuatro cifras. Nos quedan pues los siguientes posibles valores de $n$: \begin{align*} 7000&&7007&&7070&&7077\\ 7700&&7707&&7770&&7777. \end{align*} Como todos ellos verifican claramente la propiedad del enunciado, deducimos que estas son las únicas soluciones.

Solución. Al terminar el quinto día, se han realizado $20$ de las $28$ partidas del torneo. Vamos a representar a los maestros como los vértices de un octógono regular y vamos a unir los que aún no se han enfrentado por un segmento (una diagonal o un lado del octógono). De cada vértice salen exactamente dos segmentos, luego si seguimos las líneas poligonales que así se forman tendremos una o varias poligonales cerradas de al menos tres vértices y que usan los ocho vértices. En realidad, no puede haber polígonos de $3$ lados ya que eso querría decir que en los días 6 y 7 deben enfrentarse 3 maestros entre sí (esto es absurdo ya que uno forzosamente debería descansar uno de los días mientras juegan los otros dos). Por tanto, las poligonales tienen que tener 4 u 8 vértices cada una. Distingamos los dos casos:

• Si una de las poligonales tiene vértices $M_1,M_2,M_3,M_4$ y la otra $M_5,M_6,M_7,M_8$ (en este orden), entonces es que los maestros pares $M_2,M_4,M_6,M_8$ (y también los impares $M_1,M_3,M_5,M_7$) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.
• Si hay sólo una poligonal de vértices $M_1,M_2,\ldots,M_8$ (en este orden), también ocurre que los pares (y los impares) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.