Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Tenemos que $OA=OB=OC=1$ y $AB=AC=BC=1$, luego $OABC$ es un tetraedro regular y $D$ es el centro de la cara $OBC$, que es un triángulo equilátero. En particular, $OD$ es $\frac{2}{3}$ de la altura de este triángulo, luego $OD=\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Ahora bien, la recta $ON$ es paralela a $DA$ ya que ambas son perpendiculares a $\alpha$, luego los puntos $A,O,N,D$ están todos en un plano perpendicular a $\alpha$. El triángulo $DNO$ es rectángulo y en él puede verse que el ángulo buscado $\angle DNO$ tiene tangente $\frac{OD}{ON}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, luego ha de ser $\angle DNO=30^\circ$.

Solución. Si escribimos $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=n$, como $x$ e $y$ son enteros, existirá un divisor $d$ de $n$ tal que $x+y=d$ y $x-y=\frac{n}{d}$. Este sistema de ecuaciones con la suma y la diferencia se resuelve fácilmente dando lugar a \[x=\frac{d+\frac{n}{d}}{2},\qquad y=\frac{d-\frac{n}{d}}{2}.\] Obtenemos así que no vale cualquier divisor de $n$ sino que $d$ y $\frac{n}{d}$ deben tener la misma paridad (en caso contrario, el denominador $2$ en las soluciones anteriores no se puede eliminar) y además $d\gt\frac{n}{d}$ (en caso contrario tendríamos una solución con $y$ negativa). Llamemos $D(n)$ al número de divisores de $n$ y distingamos varios casos:

• Si $n$ es impar, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ son ambos impares. Si $n$ no es cuadrado perfecto, entonces la condición $d\lt\frac{n}{d}$ ocurrirá para la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(n)$. Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces hay que excluir el caso $d=\sqrt{n}$ antes de dejar la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(n)-1)$.
• Si $n$ es par pero no múltiplo de $4$, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ tienen necesariamente distinta paridad, luego $\lambda(n)=0$.
• Si $n$ es múltiplo de $4$, entonces podemos asignar previamente uno de los factores $2$ a $d$ y otro a $\frac{n}{d}$ para que los dos sean pares y repartir los restantes entre $d$ y $\frac{n}{d}$. Razonando de forma análoga al primer caso, tenemos que $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(\frac{n}{4})$ si $n$ es no es cuadrado perfecto y $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(\frac{n}{4})-1)$ si lo es.

Si factorizamos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ como producto de potencias de primos distintos, es bien conocido que $D(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$. Vamos a ver cuál es el menor valor de $n$ en cada uno de los cuatro casos que nos da la discusión anterior y luego analizaremos cuál es el menor y el menor impar.

• Si $n$ es impar y no es cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=3^{46}5^{42}7$ ya que $3,5,7$ son los primos más pequeños (impares) emparejados con los exponentes en orden opuesto.
• Si $n$ es impar y cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor es $n=3^{310}5^{12}$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y no es cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{46}3^{42}5=2^{48}3^{42}5$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{310}3^{12}=2^{312}3^{12}$.

De entre los cuatro números elegidos, el menor es $2^{48}3^{42}5$ y el menor impar es $3^{46}5^{42}7$ (¿sabrías justificar rigurosamente por qué?).

Nota. Un punto técnico de esta solución es la factorización de 4043. No debería haber problema en preguntar a los examinadores por tal factorización; en caso de no darla, habría que probar a dividir $4043$ entre los primos desde $3$ a $61$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{4043}$). Al encontrar así el factor $13$, habría que probar de nuevo desde $3$ a $17$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{313}$).

Solución. La desigualdad entre las medias geométrica y cuadrática nos dice que \[\sqrt[4]{|abcd|}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3},\] de donde $abcd\leq |abcd|\leq 9$ (observemos que hay que poner valor absoluto porque esta desigualdad sólo es cierta para números no negativos). Ahora bien, para que se dé la igualdad, tiene que ser $|a|=|b|=|c|=|d|=\sqrt{3}$ y la condición $a+b+c+d=0$ nos dice que exactamente dos de los números tienen que ser positivos y dos negativos. Por ejemplo, podemos poner $a=b=\sqrt{3}$ y $c=d=-\sqrt{3}$, lo que confirma que el valor máximo de $abcd$ es efectivamente $9$ y sabemos exactamente cuándo se da la igualdad.

En cuanto al mínimo,

Solución. El número total de estados es fácil de calcular ya que corresponde a elegir un subconjunto del conjunto de $2n$ bombillas, lo que nos da $\text{ET}=2^{2n}$ (en otras palabras, tenemos que elegir entre dos opciones, encendido o apagado, de forma independiente para cada una de las $2n$ bombillas). Ahora bien, si fijamos un número $0\leq k\leq n$, hay $\binom{n}{k}$ formas de encender exactamente $k$ bombillas en la fila A. Para cada una de ellas, tenemos $\binom{n}{k}$ formas de encender el mismo número de bombillas en la fila B, lo que nos dice que el número total de estados buenos es \[\text{EB}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}.\] De esta forma, podemos concluir que \begin{align*} \frac{\text{EB}}{\text{ET}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot 2^{2n}}&=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1\cdot 2^n n!}{n!\cdot n!\cdot 2^n\cdot 2^n}\\ &=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{n!\cdot 2^n}, \end{align*} donde hemos separado los factores pares e impares de $(2n)!$.

Nota. Hemos usado la famosa igualdad \[\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\ldots+\binom{n}{n}^2.\] Esta se obtiene, por ejemplo, de comparar los coeficientes de orden $n$ los desarrollos por el binomio de Newton de $(1+x)^{2n}$ y $(1+x)^n(1+x)^n$.