Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Ninguno de los primos puede ser igual a $2$ ya que en tal caso una de las sumas sería par y la otra impar, luego podemos suponer que todos los primos son impares, es decir, son congruentes con $1$ o con $3$ módulo $4$. Pongamos que en los $1012$ primeros primos hay $m_1$ de ellos congruentes con $1$ y $m_3$ congruentes con $3$ módulo $4$, mientras que en los últimos $1012$ primos hay $n_1$ congruentes con $1$ y $n_3$ congruentes con $3$ módulo $4$. La igualdad del enunciado módulo $4$ se lee \[m_1+3m_3\equiv n_1+3n_3\ (\text{mod }4).\qquad (\star)\] Como $m_1+m_3=n_1+n_3=1012\equiv 0\ (\text{mod }4)$, tendremos que $n_1\equiv -n_3\ (\text{mod }4)$ y $m_1\equiv-m_3\ (\text{mod }4)$, lo que nos permite reescribir la congruencia $(\star)$ como $2m_3\equiv 2n_3\ (\text{mod }4)$. Esto nos dice que $m_3$ y $n_3$ tienen la misma paridad (¿por qué?). Por lo tanto, \[A\equiv 3^{m_3}\equiv 3^{n_3}\equiv B\ (\text{mod }4)\] ya que la potencia $3^a$ módulo $4$ es igual a $1$ si $a$ es par o a $3$ si $a$ es impar. Hemos probado así que $A-B$ es múltiplo de $4$ pero no puede ser igual a $0$ ya que $A\neq B$ (son todos primos distintos). Tenemos así que $|A-B|\geq 4$.

Solución. Usando reiteradamente que podemos sustituir un producto de algunas de las variables por el inverso del producto de las restantes, podemos transformar la condición del enunciado como sigue: \begin{align*} 0&=a+\tfrac{1}{a}+b+\tfrac{1}{b}+c+\tfrac{1}{c}+d+\tfrac{1}{d}\\ &=a+bcd+b+acd+c+abd+d+abc\\ &=(ab+1)c+(ab+1)d+(cd+1)a+(cd+1)b\\ &=(ab+1)(c+d)+(cd+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(\tfrac{1}{ab}+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(1+ab)(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b})\\ &=(ab+1)(c+d+bcd+acd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(bd+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(\tfrac{1}{ac}+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)bcd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)\tfrac{1}{a})\\ &=(ab+1)(ac+1)(1+bc)d\\ &=(ab+1)(ac+1)(ad+1)\tfrac{1}{a}, \end{align*} de donde se deduce que $(ab+1)(ac+1)(ad+1)=0$ y, por tanto, alguno de los números $ab,ac,ad$ debe ser igual a $-1$.

Nota. En la solución oficial se razona en la dirección opuesta desarrollando $(ab+1)(ac+1)(ad+1)$ y usando la condición del enunciado para ver que el resultado es $0$. Sin embargo, suele ser más habitual comenzar manipulando lo que nos dan para ver a dónde llegamos. Existen muchas manipulaciones distintas que dan el resultado.