Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Tenemos que $OA=OB=OC=1$ y $AB=AC=BC=1$, luego $OABC$ es un tetraedro regular y $D$ es el centro de la cara $OBC$, que es un triángulo equilátero. En particular, $OD$ es $\frac{2}{3}$ de la altura de este triángulo, luego $OD=\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Ahora bien, la recta $ON$ es paralela a $DA$ ya que ambas son perpendiculares a $\alpha$, luego los puntos $A,O,N,D$ están todos en un plano perpendicular a $\alpha$. El triángulo $DNO$ es rectángulo y en él puede verse que el ángulo buscado $\angle DNO$ tiene tangente $\frac{OD}{ON}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, luego ha de ser $\angle DNO=30^\circ$.

Solución. El número total de estados es fácil de calcular ya que corresponde a elegir un subconjunto del conjunto de $2n$ bombillas, lo que nos da $\text{ET}=2^{2n}$ (en otras palabras, tenemos que elegir entre dos opciones, encendido o apagado, de forma independiente para cada una de las $2n$ bombillas). Ahora bien, si fijamos un número $0\leq k\leq n$, hay $\binom{n}{k}$ formas de encender exactamente $k$ bombillas en la fila A. Para cada una de ellas, tenemos $\binom{n}{k}$ formas de encender el mismo número de bombillas en la fila B, lo que nos dice que el número total de estados buenos es \[\text{EB}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}.\] De esta forma, podemos concluir que \begin{align*} \frac{\text{EB}}{\text{ET}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot 2^{2n}}&=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1\cdot 2^n n!}{n!\cdot n!\cdot 2^n\cdot 2^n}\\ &=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{n!\cdot 2^n}, \end{align*} donde hemos separado los factores pares e impares de $(2n)!$.

Nota. Hemos usado la famosa igualdad \[\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\ldots+\binom{n}{n}^2.\] Esta se obtiene, por ejemplo, de comparar los coeficientes de orden $n$ los desarrollos por el binomio de Newton de $(1+x)^{2n}$ y $(1+x)^n(1+x)^n$.

Solución. La desigualdad entre las medias geométrica y cuadrática nos dice que \[\sqrt[4]{|abcd|}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3},\] de donde $abcd\leq |abcd|\leq 9$ (observemos que hay que poner valor absoluto porque esta desigualdad sólo es cierta para números no negativos). Ahora bien, para que se dé la igualdad, tiene que ser $|a|=|b|=|c|=|d|=\sqrt{3}$ y la condición $a+b+c+d=0$ nos dice que exactamente dos de los números tienen que ser positivos y dos negativos. Por ejemplo, podemos poner $a=b=\sqrt{3}$ y $c=d=-\sqrt{3}$, lo que confirma que el valor máximo de $abcd$ es efectivamente $9$ y sabemos exactamente cuándo se da la igualdad.

En cuanto al mínimo,