Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $n$ al número que buscamos y escribimos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, donde $p_1,\ldots,p_r$ son primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son exponentes naturales, el número de divisores de $n$ viene dado por \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).\] Como $74=2\cdot 37$, deducimos que, o bien $e_1=73$, o bien $e_1=1$ y $e_2=36$. Como el número buscado es múltiplo de $18=2\cdot 3^2$, no puede haber un único primo en la descomposición de $n$ luego hay exactamente dos primos, es decir, $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}$. Para que sea múltiplo de $18$, el exponente de $3$ tiene que ser mayor que uno, luego la única posibilidad es $n=2\cdot 3^{36}$, que es el número buscado. Informar

Solución. Sea $n$ un múltiplo de $100$ cualquiera, pongamos $n=100k$. Entonces, los números $k$, $2k$, $4k$, $5k$, $10k$, $20k$, $25k$ y $50k$ son divisores de $n$ menores que $100k$ y en total suman $117k$, luego la suma de todos los divisores de $n$, que es al menos de $117k$, es mayor que $n$.

Nota. Esta misma solución se puede adaptar para demostrar que los múltiplos de un número abundante son también abundantes e incluso los múltiplos de un número perfecto son también abundantes.

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Solución. Entre los $39$ números siempre hay $20$ consecutivos $n,n+1,\ldots,n+19$ que sólo difieren en las cifras de las decenas y las unidades y de forma que la cifra de la cifra de las unidades de $n$ es cero. Si $a$ es la suma de las cifras de $n$, entonces las sumas de las cifras de $n,n+1,\ldots,n+19$ son $a,a+1,\ldots,a+9,a+1,\ldots,a+10$, respectivamente, y alguno de estos números ha de ser múltiplo de $11$.

Nota. Un ejemplo de que el resultado no es cierto para $38$ números son los números del $999981$ al $1000018$.

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Solución. Observemos que si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $n\geq 10^k$ mientras que $s+u^2\leq 9k+9^2$ (este valor máximo se corresponde con que todos las cifras de $n$ sean iguales a 9). Esto nos dice que el miembro de la derecha será en general mucho menor que el de la izquierda luego las soluciones han de ser números pequeños. Vamos a intentar formalizar esta idea, estudiando el número de cifras de $n$ de menor a mayor:

• Si $n$ es de a lo sumo dos cifras, entonces podemos escribir $n=10a+b$ con $a$ y $b$ números enteros entre 0 y 9. Entonces, $s=a+b$ y $u=b$, de donde la ecuación es equivalente a $10a+b=a+b+b^2$, es decir, $9a=b^2$. Por tanto, $b$ tiene que ser múltiplo de $3$. Tenemos varios subcasos:
  • Si $b=0$, entonces $9a=b^2=0$, luego $a=0$ y $n=0$, que no es una solución válida ya que se pide que $n$ sea un entero positivo.
  • Si $b=3$, entonces $9a=b^2=9$, luego $a=1$ y $n=13$.
  • Si $b=6$, entonces $9a=b^2=36$, luego $a=4$ y $n=46$.
  • Si $b=9$, entonces $9a=b^2=81$, luego $a=9$ y $n=99$.
• Si $n$ es de 3 cifras, entonces $n=s+u^2\leq 3\cdot 9+9^2=108$, luego los únicos posibles números son $100, 101, 102,..., 108$ y es fácil ver que ninguno de ellos cumple la condición $n=s+u^2$.
• Si $n$ tiene 4 cifras, entonces $n\geq 1000$, mientras que $s+u^2\leq 4\cdot 9+9^2=117$. Esto nos lleva a que no existe solución en este caso. Ahora bien, cada cifra adicional de $n$ aumenta el mínimo de $n$ en un factor $10$ mientras que el máximo de $s+u^2$ aumenta sólo en 9 unidades. Claramente esto nos dice que $n\gt s+u^2$ si $n$ tiene más de 4 cifras.

En resumen, los únicos enteros positivos que cumplen la condición son 13, 46 y 99. Informar

Solución. Observemos que los posibles restos de un cuadrado perfecto módulo $9$ son $0$, $1$, $4$ y $7$. Ahora bien, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y la suma de las cifras de $N$ (y de cualquier reordenación de sus dígitos) es $102$, que es congruente con $3$ módulo $9$, de donde deducimos que $N$ no puede reordenarse para obtener un cuadrado perfecto. Informar

Solución. La forma más sencilla de resolver este problema darse cuenta de que el número en cuestión tiene que ser un cubo perfecto de 4 cifras y, por tanto, tiene que ser el cubo de un número entre 10 y 21. En este punto, podría probarse caso por caso y llegar a la solución, aunque vamos a ver que podemos descartar algunos números directamente.

Es bien sabido que la suma de las cifras tiene el mismo resto que el propio número módulo $9$ luego si llamamos $r$ a dicho resto, ha de cumplirse que $r\equiv r^3\ (\text{mód }9)$, es decir, $r\equiv -1$, $r\equiv 0$ ó $r\equiv 1\ (\text{mód }9)$. Esto nos lleva a que el número es el cubo de 10, 17, 18 ó 19. Probando cada uno de estos cuatro casos llegamos a que los únicos que cumplen la condición son $17^3=4913$ y $18^3=5832$.

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