Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si prolongamos los lados del hexágono, se formarán dos triángulos equiláteros (que contienen al hexágono) ya que sus ángulos interiores son iguales y, por tanto, iguales a $120º$ (ver figura). Si llamamos $a,b,c,d,e,f$ a las longitudes de los lados del hexágono (etiquetados de forma consecutiva), el hecho de que tales triángulos sean equiláteros se traduce en que sus lados son iguales, es decir: \begin{align*} a+b+c=c+d+e=e+f+a,\\ b+c+d=d+e+f=f+a+b. \end{align*} Para llegar a estas igualdades, también hemos usado que al prolongar los lados $a$ y $c$ se forma otro triángulo equilátero de lado $b$ (y lo mismo ocurre para el resto de lados, como se ve en la figura). De las dos ecuaciones anteriores, se llega fácilmente a que \[f-c=b-e=d-a.\] Estas diferencias se pueden suponer positivas, si tomamos $f=6$ como el mayor de los lados en nuestro etiquetado. Como $a,b,c,d,e,f$ son los números del $1$ al $6$ en cierto orden, las diferencias anteriores sólo pueden ser iguales a $1$ y $3$. Además, tras aplicar una simetría axial, podemos suponer que $b$ es mayor que $d$, lo que nos da dos posibles casos:

• [Diferencia 3]: $(a,b,c,d,e,f)=(1,5,3,4,2,6)$. El área del hexágono es el área de un triángulo equilátero de lado $a+b+f=12$ menos la suma de las áreas de tres triángulos equiláteros de lados $b=5$, $d=4$ y $f=6$. Como el área de un triángulo equilátero de lado $\ell$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$, tenemos que el área del hexágono es \[A=\frac{\sqrt{3}}{4}(12^2-5^2-4^2-6^2)=\frac{67\sqrt{3}}{4}.\]
• [Diferencia 1]: $(a,b,c,d,e,f)=(1,4,5,2,3,6)$. Razonando de forma análoga y teniendo en cuenta que $a+b+f=11$, $b=4$, $d=2$ y $f=6$, llegamos a que \[A=\frac{\sqrt{3}}{4}(11^2-4^2-2^2-6^2)=\frac{65\sqrt{3}}{4}.\]

En la figura, hemos dibujado el segundo de estos dos hexágonos con la ayuda de una malla triangular (el primero se haría de forma similar). Estos son, por tanto, los dos únicos posibles valores del área. Informar

Solución. El área del triángulo $ABM$ es la misma que la del triángulo $ACM$ ya que tienen la misma base $BM=CM$ y la misma altura. Por lo tanto, si llamamos $p_1$ y $p_2$ al semiperímetro de $ABM$ y $ACM$ respectivamente, tenemos que $r_1p_1=r_2p_2$ y deducimos que \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{p_2}{p_1}=\frac{AM+CM+AC}{AM+BM+MB}{.}\] Así, tenemos que probar que $AM+CM+AC<2(AM+BM+AB)$ o, lo que es lo mismo, $AM+CM+2AB>AC$ y esta última desigualdad es consecuencia de la desigualdad triangular $AM+CM>AC$ (en el triángulo $ACM$) y de que $2AB>0$. Informar

Solución. Llamemos $T$ al punto de tangencia de $MN$ con la circunferencia inscrita y $\ell$ al lado del triángulo. Observemos que la longitud de $MT$ es igual a la del segmento que une $M$ con el punto medio del lado $AB$ por la propiedad de tangencia. Por tanto, $AM+MT=\frac{\ell}{2}$ y, de la misma forma, $AN+NT=\frac{\ell}{2}$, con lo que el perímetro del triángulo $AMN$ es exactamente $\ell$. Así, podemos escribir \[\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MN+AN}+\frac{AN}{MN+AM}=\frac{AM^2+AN^2+MN(AN+AM)}{MN^2+MN(AN+AM)+AM\cdot AN}{.}\] Por lo tanto, quisiéramos demostrar que $AM^2+AN^2=MN^2+AM\cdot AN$, pero esto se deduce de forma fácil del teorema del coseno aplicado al triángulo $AMN$ teniendo en cuenta que $\angle MAN=60$º. Informar