Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Dado que $10\leq n\leq 99$, el número $10^n-n$ tiene $n$ dígitos: los $n-2$ más significativos iguales a $9$ y los dos menos significativos iguales a los de $100-n$. Por lo tanto, la suma de los dígitos es menor que $99\cdot 9=891$. De esta forma, buscamos los números para los que la suma de los dígitos es $170$, $340$, $510$, $680$ u $850$. Distinguimos estos cinco casos:

• Suma $170$. Para $n=18$, tenemos $9(n-2)=144$ luego no podemos llegar con los últimos dos dígitos a $170$. Para $n=19$, tenemos $9(n-2)=153$ y los últimos dos dígitos de $10^n-n$ son $81$, luego la suma de dígitos es $153+8+1=162\neq 170$. Para $n=20$, tenemos $9(n-2)=162$ y los últimos dos dígitos de $10^n-n$ son $80$, luego su suma de dígitos es $162+8+0=170$. Para $n=21$, tenemos que $9(n-2)=171\gt 170$. Deducimos que el único número con suma $170$ es $n=20$.
• Suma $340$. Razonando de forma análoga, las únicas posibilidades son $n=38$ y $n=39$. La suma de los dígitos de $10^{38}-38$ es $36\cdot 9+6+2=332$ y la suma de los dígitos de $10^{39}-39$ es $37\cdot 9+6+1=340$, luego tenemos la solución $n=39$.
• Suma $510$. Otra vez por el mismo motivo, tenemos los candidatos $n=57$ y $n=58$. La suma de los dígitos de $10^{57}-57$ es $55\cdot 9+4+3=502$ y la suma de los dígitos de $10^{58}-58$ es $56\cdot 9+4+2=510$, luego tenemos la solución $n=58$.
• Suma $680$. De nuevo por el mismo motivo, tenemos los candidatos $n=76$ y $n=77$. La suma de los dígitos de $10^{76}-76$ es $74\cdot 9+2+4=672$ y la suma de los dígitos de $10^{77}-77$ es $75\cdot 9+2+3=680$, luego tenemos la solución $n=77$.
• Suma $850$. En este caso, tenemos los candidatos $n=95$ y $n=96$. La suma de los dígitos de $10^{95}-95$ es $93\cdot 9+0+5=842$ y la suma de los dígitos de $10^{96}-96$ es $94\cdot 9+0+4=850$, luego tenemos la solución $n=96$.

Hemos obtenido que hay cinco números que cumplen la condición del enunciado: $20$, $39$, $58$, $77$ y $96$. Informar

Solución. Supongamos que los números son $n-1$, $n$, $n+1$ y $n+2$, luego su producto \[(n-1)n(n+1)(n+2)=n^4+2 n^3-n^2-2 n=(n^2+n-1)^2-1\] se diferencia en una unidad con un cuadrado perfecto. Claramente, no hay dos cuadrados positivos que se diferencien en una unidad, lo que nos lleva a que el producto original no es un cuadrado perfecto. Informar

Solución. Supongamos que $x^3+y^3=p$ para $x,y\in\mathbb{Z}$ y factoricemos $p=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Como $p$ es primo, distinguiremos dos posibilidades:

• Si $x+y=\epsilon$, siendo $\epsilon=\pm1$, entonces $x^2-xy+y^2=\epsilon p$. Esto nos da $$\epsilon p=x^2-xy+y^2=x^2-x(\epsilon-x)+(\epsilon-x)^2=3x^2-3\epsilon x+1.$$ La parábola $3x^2-3\epsilon x+1$ toma valores positivos en todos enteros $x$ ya que tiene su mínimo (vértice) en $x=\frac{-1}{2}$ y en $x=0$ y $x=-1$ vale $1$. Por tanto, como $p$ es positivo, deducimos que $\epsilon=1$ y tenemos la condición del enunciado para $n=x$.
• Si $x+y=\epsilon p$, siendo $\epsilon=\pm1$, entonces $x^2-xy+y^2=\epsilon p$. Esto nos da $$\epsilon=x^2-xy+y^2=x^2-x(\epsilon p-x)+(\epsilon p-x)^2=3x^2-3\epsilon px+p^2.\qquad\qquad(\star)$$ Esto nos permite despejar como ecuación de segundo grado $$p=\frac{3\epsilon x\pm\sqrt{9x^2-4(3x^2-\epsilon)}}{2}=\frac{3x\pm\sqrt{4\epsilon-3x^2}}{2}.$$ Como esta ecuación ha de tener solución, llegamos a que $\epsilon=1$ y $3x^2\leq 4$, de donde $x=0$ o $x=1$. Si $x=0$, entonces la ecuación ($\star$) nos da $p^2=1$, pero esto es imposible ya que $1$ no es primo. Si $x=1$, entonces ($\star$) nos da $p^2-3p+2=0$, que tiene soluciones $p=1$ y $p=2$. Observamos que para $p=2$, la ecuación original sí tiene soluciones naturales $x=y=1$.

Nota. En realidad, el hecho de tomar $\epsilon=\pm 1$ es para no tener que distinguir cuatro casos en la factorización ni tampoco incluir repetidamente signos $\pm$ o $\mp$, que pueden resultar liosos.

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Solución. Trabajamos módulo $4$ y comenzamos observando que todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $4$. Por tanto, $pqr$ debe ser congruente con $0$ o $3$ módulo $4$. Distinguimos los dos casos:

• Si $pqr\equiv 0\ (\text{mod }4)$, entonces es porque alguno de los números es par. Como son primos, necesariamente dos de ellos son iguales a dos y el tercero, por tanto, igual a $2019$. Como $2019$ no es primo (es múltiplo de $3$), deducimos que este caso no da ninguna solución.
• Si $pqr\equiv 3\ (\text{mod }4)$, entonces los tres primos son congruentes con $1$, $1$ y $3$ o bien con $3$, $3$ y $3$ (en algún orden). En cualquier caso, obtenemos que $p+q+r\equiv 1\ (\text{mod }4)$. Esto contradice el hecho de que $p+q+r=2023\equiv 3\ (\text{mod }4)$, luego tampoco obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que no hay primos en las condiciones del enunciado.

Nota. La misma demostración del segundo caso muestra que no hay enteros impares cumpliendo la condición del enunciado (no tienen por qué ser primos ni positivos).

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Solución. Sea $n\geq 1$ y supongamos que $p\geq 3$ es un factor primo de $2^n-1$, es decir, $2^n\equiv 1\ (\text{mod }p)$. Por el teorema pequeño de Fermat y usando que $\mathrm{mcd}(p,2)=1$, se tiene que $2^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. El menor natural $a$ que cumple $2^a\equiv 1\ (\text{mod }p)$ ha de ser, por tanto, divisor de $p-1$. Además, como $2^n\equiv 1\ (\text{mod }p)$, se tiene que $n$ es un múltiplo de $a\leq p-1$ (ver la nota). Esto nos dice que $n$ tiene necesariamente un factor primo menor que $p$. Vamos a llamar a esto la propiedad P.

Vamos ahora a demostrar el enunciado por reducción al absurdo. Supongamos que uno de los números $n_1,\ldots,n_k$ es mayor que $1$, pongamos $n_1\gt 1$ sin perder generalidad. Sea $p_1\geq 3$ el menor factor primo de $n_1$ (no puede ser $p_1=2$ ya que $n_1$ divide al número impar $2^{n_2}-1$). Según la propiedad P, el número $n_2$ tiene que tener un factor primo $p_2$ tal que $3\leq p_2\lt p_1$. De nuevo por la propiedad P, $n_3$ tiene un factor primo $p_3$ tal que $3\leq p_3\lt p_2$. Aplicando sucesivamente la propiedad P, llegamos a que $n_1$ tiene un factor primo $q_1$ tal que $q_1\lt p_k\lt p_{k-1}\lt\ldots\lt p_2\lt p_1$. Esto contradice que $p_1$ era el menor factor primo de $n_1$.

Nota. Dados $a,n\in\mathbb{N}$ tales que $\mathrm{mcd}(a,n)=1$, existe un menor exponente $k$ tal que $a^k\equiv 1\ (\text{mod }n)$ y todo exponente $m$ tal que $a^m\equiv 1\ (\text{mod }n)$ es un múltiplo de $k$.

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