Sabemos que toda superficie \(S\subset \mathbb{R}^3\) se escribe localmente como el grafo de una función diferenciable \(f\). Podemos suponer, tras una traslación y una rotación en el espacio, que \(S\) pasa por el origen y que en ese punto, el plano tangente a \(S\) es \(\{ z=0\} \). Así, localmente tenemos la parametrización como grafo
$$
X(x,y)=(x,y,f(x,y)),
$$
siendo \(f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\). Demuestra que si elegimos como normal unitario a \(N\) de forma que \(N(0,0,0)=(0,0,1)\), entonces la segunda forma fundamental de \(S\) respecto a \(N\) coincide en el punto \(p_0=(0,0,0)\) con el hessiano de \(f\) en \((0,0)\).
Por tanto, la curvatura de Gauss de \(S\) en \(p_0\) es el determinante del hessiano y la curvatura media es la mitad del laplaciano de \(f\) en \((0,0)\). Esto relaciona la teoría de superficies llanas y la de superficies mínimas con dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales clásicas, la ecuación de Monge-Ampère
$$
f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0
$$
y la ecuación de Laplace
$$
f_{xx}+f_{yy}=0.
$$