Hemos visto en clase las ecuaciones de Frenet<\/b> para una curva en el espacio. Este sistema lineal de 3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vectoriales con 3 inc\u00f3gnitas vectoriales (9 ecuaciones y 9 inc\u00f3gnitas escalares) fue descubierto por el matem\u00e1tico franc\u00e9s Jean Fr\u00e9d\u00e9ric Frenet en su tesis doctoral, hacia 1847. De forma independiente, otro matem\u00e1tico franc\u00e9s, Joseph Alfred Serret, obtuvo las mismas ecuaciones en 1851. La ecuaciones de Frenet no s\u00f3lo describen la variaci\u00f3n del triedro asociado a una curva p.p.a., sino que tambi\u00e9n son la base de que la curvatura y la torsi\u00f3n determinen esencialmente a la curva, gracias a los teoremas cl\u00e1sicos de existencia y unicidad de problemas de valores iniciales asociados a un sistema de EDO.<\/p>\n
Usa el desarrollo en serie de Taylor para probar que si \\(\\alpha \\colon I\\to \\mathbb{R}^3\\) es una curva p.p.a. definida en un intervalo abierto que contiene a cero, entonces para \\(t\\) suficientemente pr\u00f3ximo a cero se tiene
\n$$
\n\\begin{array}{rcl}
\n\\alpha (t)&=&\\alpha (0)+t\\left( 1-\\frac{\\kappa(0)^2t^2}{6}\\right) T(0)
\n\\\\
\n& & +t^2\\left( \\frac{\\kappa(0)}{2}+\\frac{\\kappa'(0)t}{6}\\right) N(0)-\\frac{\\kappa(0)\\tau (0)t^3}{6}B(0)+\\mathcal{O}(t^4),
\n\\end{array}
\n$$
\ndonde \\(\\kappa, \\tau \\) son la curvatura y torsi\u00f3n de \\(\\alpha \\), \\(\\{ T,N,B\\} \\) es su triedro de Frenet, y \\(t\\in I\\mapsto \\mathcal{O}(t^4)\\in \\mathbb{R}^3\\) es una aplicaci\u00f3n tal que
\n$$
\n\\lim _{t\\to 0}\\frac{O(t^4)}{t^3}=0.
\n$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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