{"id":512,"date":"2016-02-10T18:53:26","date_gmt":"2016-02-10T18:53:26","guid":{"rendered":"http:\/\/wdb.ugr.es\/~jperez\/?page_id=512"},"modified":"2020-03-05T09:36:32","modified_gmt":"2020-03-05T08:36:32","slug":"la-desigualdad-isoperimetrica-i","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/la-desigualdad-isoperimetrica-i\/","title":{"rendered":"La desigualdad isoperim\u00e9trica (I)"},"content":{"rendered":"

En la entrada anterior<\/a> vimos c\u00f3mo calcular el \u00e1rea del recinto \\(\\Omega \\) encerrado por una curva cerrada simple plana \\(\\alpha \\). Ten\u00edamos dos n\u00fameros asociados a \\(\\Omega \\): su \u00e1rea \\(A\\) y su per\u00edmetro \\(L=\\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega )\\). \u00bfQu\u00e9 relaci\u00f3n hay entre ambos?<\/p>\n

Est\u00e1 claro que si tomamos una cuerda con los extremos unidos y la disponemos sobre el suelo como una curva cerrada simple, entonces podemos modificar el \u00e1rea del recinto encerrado desde 0 hasta cierto valor positivo, pero su per\u00edmetro ser\u00e1 siempre igual a la longitud de la cuerda con la que empezamos. Intuitivamente, vemos que la forma del recinto que tiene mayor \u00e1rea es circular. Este hecho tan intuitivo constituye quiz\u00e1s el teorema global m\u00e1s antiguo en Geometr\u00eda Diferencial, y se llama la desigualdad isoperim\u00e9trica<\/b>, que busca la respuesta a cualquiera de las dos siguientes preguntas (equivalentes):<\/p>\n

    \n
  1. De todos los recintos planos con per\u00edmetro dado, \u00bfcu\u00e1l tiene mayor \u00e1rea?<\/li>\n
  2. De todos los recintos planos con \u00e1rea prefijada, \u00bfcu\u00e1l tiene menor per\u00edmetro?<\/li>\n<\/ol>\n

    Ya los griegos sab\u00edan que el c\u00edrculo es la mejor respuesta posible. Por ejemplo, Pappus de Alejandr\u00eda \u00a0escribi\u00f3:<\/p>\n

    \u00abLas abejas saben\u00a0el hecho, \u00fatil para ellas, de que el hex\u00e1gono es mayor que el cuadrado y el tri\u00e1ngulo y contendr\u00e1 m\u00e1s miel para el mismo gasto de material en la construcci\u00f3n de cada uno. Pero nosotros, reclamando una sabidur\u00eda mayor que la de las abejas, investigaremos un problema algo m\u00e1s amplio, a saber, que dados dos pol\u00edgonos planos equil\u00e1teros y equi\u00e1ngulos que tienen el mismo per\u00edmetro, el\u00a0que tiene el mayor n\u00famero de \u00e1ngulos tiene siempre mayor \u00e1rea, y que el que m\u00e1s \u00e1rea tiene de todos ellos es el c\u00edrculo que tiene su per\u00edmetro igual a ellos\u00bb.<\/p>\n

    Sin embargo, no pudieron dar una demostraci\u00f3n rigurosa de que el c\u00edrculo es la soluci\u00f3n a las preguntas 1 y 2, aparentemente obvias. Y es que despu\u00e9s de todo, la cuesti\u00f3n no es tan obvia: tuvimos que esperar hasta el siglo XIX para tener la primera prueba rigurosa. A partir de entonces se han encontrado demostraciones muy diferentes de la desigualdad isoperim\u00e9trica<\/strong>, cuyo enunciado riguroso dice:<\/p>\n

    Teorema. <\/strong>
    \nDado un dominio compacto y regular \\(\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2\\), su \u00e1rea \\(A\\) y su per\u00edmetro \\(L\\) est\u00e1 relacionados por:
    \n$$
    \n4\\pi A\\leq L^2, \\qquad \\mbox{\u00ab=\u00bb} \\Longleftrightarrow \\Omega \\mbox{ es un disco redondo.}
    \n$$
    \nUno de los problemas que ten\u00edan las primeras demostraciones de la desigualdad isoperim\u00e9trica consiste en suponer que existe soluci\u00f3n al llamado Problema Isoperim\u00e9trico<\/b>:<\/p>\n

    Dado \\(A\\gt 0\\), \u00bfexiste un dominio \\(\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2\\) con \u00e1rea \\(A\\), que tiene el menor per\u00edmetro de entre todos los recintos de \\(\\mathbb{R}^2\\) con \u00e1rea \\(A\\)? (a un dominio con esta propiedad se le llama dominio isoperim\u00e9trico<\/b>).<\/p>\n

    Ejercicio 1. Demuestra que si existe un dominio isoperim\u00e9trico para un valor \\(A\\gt 0\\) del \u00e1rea, entonces existen dominios isoperim\u00e9tricos para todos los valores del \u00e1rea, y que los dominios isoperim\u00e9tricos son aquellos que minimizan el siguiente cociente (llamado cociente isoperim\u00e9trico<\/strong>):
    \n$$
    \n\\frac{\\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega )^2}{\\mbox{Area}(\\Omega )}.
    \n$$
    \nNo es f\u00e1cil dar una demostraci\u00f3n de la existencia de un dominio isoperim\u00e9trico. En 1870, el matem\u00e1tico alem\u00e1n     Karl Weierstrass<\/a> se\u00f1al\u00f3 que hay muchos problemas similares al anterior y que no admiten soluci\u00f3n, y adem\u00e1s di\u00f3 la primera prueba rigurosa (y nada trivial) de la desigualdad isoperim\u00e9trica.<\/p>\n

    En esta entrada veremos un argumento para probar que si el problema isoperim\u00e9trico tiene soluci\u00f3n suficientemente regular,<\/b> entonces \u00e9sta es un c\u00edrculo.<\/p>\n

    Asumimos que existe un dominio isoperim\u00e9trico, \\(\\Omega \\), cuya frontera puede parametrizarse por una curva de clase \\(C^2\\). No perdemos generalidad parametrizando \\(\\partial \\Omega \\) por el arco, \\(\\alpha \\colon [0,L]\\to \\mathbb{R}^2\\), donde \\(L=\\) longitud\\((\\alpha )\\). Sea \\(\\{ T,N\\} \\) el diedro de Frenet asociado a \\(\\alpha \\). Lo primero que haremos es definir una variaci\u00f3n<\/b> de \\(\\Omega \\) normal a su borde. Fijemos una funci\u00f3n \\(f\\colon [0,L]\\to \\mathbb{R}\\) de clase \\(C^1\\), tal que \\(f(0)=f(L)\\), \\(f'(0)=f'(L)\\), y consideremos para cada \\(s\\in \\mathbb{R}\\) la curva
    \n$$
    \n\\alpha _s\\colon [0,L]\\to \\mathbb{R},\\quad \\alpha _s(t)=\\alpha (t)+sf(t)N(t).
    \n$$
    \nPara \\(\\varepsilon \\gt 0\\) suficientemente peque\u00f1o, \\(\\alpha _s\\) es una curva (\\(C^1\\)) regular, y cerrada. El siguiente ejercicio nos asegura que \\(\\alpha _s\\) es simple para \\(|s|<\\varepsilon \\) suficientemente peque\u00f1o:<\/p>\n

    Ejercicio 2. Sea \\(\\{ s_k\\} _k\\)\u00a0una sucesi\u00f3n de n\u00fameros positivos tendiendo a cero, Supongamos que para cada \\(k\\in \\mathbb{N}\\), existen \\(t_1(k),t_2(k)\\in [0,L]\\), tales que\u00a0\\(t_1(k)<t_2(k)\\) y \\(\\alpha _{s_k}(t_1(k))=\\alpha _{s_k}(t_2(k))\\). Probar que tras pasar a una parcial, las sucesiones\u00a0\\(\\{ t_1(k)\\} _k\\), \\(\\{ t_2(k)\\} _k\\)\u00a0convergen al mismo l\u00edmite \\(\\overline{t}\\in [0,L]\\). Usar esto y el teorema del valor medio sobre\u00a0las componentes de\u00a0\\(\\alpha _s\\) para \u00a0encontrar una contradicci\u00f3n.<\/p>\n

    A partir de ahora, supondremos que \\(\\alpha _s\\) es una curva (\\(C^1\\)) regular, cerrada\u00a0y\u00a0simple siempre que \\(|s|<\\varepsilon \\).\u00a0Por el teorema de la curva de Jordan, \\(\\alpha _s\\) encierra un dominio interior \\(\\Omega _s\\).<\/p>\n

    Sean \\(L,A\\colon (-\\varepsilon ,\\varepsilon )\\to \\mathbb{R}\\) las funciones dadas por
    \n$$
    \nL(s)=\\mbox{Longitud}(\\alpha _s)=\\int _0^L\\| \\alpha _s'(t)\\| \\, dt,\\qquad
    \nA(s)=\\mbox{Area}(\\Omega _s)=\\frac{1}{2}\\int _0^L\\det (\\alpha _s(t),\\alpha’_s(t))\\, dt,
    \n$$
    \ndonde \\(\\mbox{}’\\) denota derivada respecto a \\(t\\).<\/p>\n

    Ejercicio 3. Demostrar que \\(L,A\\) son de clase \\(C^1\\) y que sus derivadas en \\(s=0\\) son
    \n$$
    \n\\frac{dL}{ds}(0)=-\\int _0^Lf(t)\\kappa (t)\\, dt,\\qquad \\frac{dA}{ds}(0)=-\\int _0^Lf(t)\\, dt,
    \n$$
    \ndonde \\(\\kappa \\) es la curvatura de \\(\\alpha \\). (Indicaci\u00f3n: para calcular \\(\\frac{dA}{ds}(0)\\), integrar por partes \\(f\\det(\\alpha ,N)\\)).<\/p>\n

    Ejercicio 4. Usar que \\(\\Omega \\) es un dominio isoperim\u00e9trico para deducir que la funci\u00f3n \\(s\\mapsto \\frac{L(s)^2}{A(s)}\\) tiene un punto cr\u00edtico en \\(s=0\\).<\/p>\n

    Ejercicio 5. Probar que si \\(\\int _0^Lf=0\\), entonces \\(\\int _0^Lf\\kappa =0\\).<\/p>\n

    El argumento anterior\u00a0nos dice que para un dominio isoperim\u00e9trico \\(\\Omega \\), la funci\u00f3n curvatura \\(\\kappa \\) de su borde es \\(L^2\\)-ortogonal al subespacio de \\(L^2(\\mathbb{R}\/L\\mathbb{Z})
    \n\\) siguiente:
    \n$$
    \n\\mathcal{U}=\\left\\{ f\\in C^1([0,L])\\ | \\ f(0)=f(L), f'(0)=f'(L), \\int _0^Lf=0\\right\\} .
    \n$$
    \nPor otro lado, un resultado de An\u00e1lisis nos dice que \\(\\mathcal{U}\\) es el subespacio \\(L^2\\)-ortogonal al subespacio 1-dimensional de las funciones constantes, luego deducimos que \\(\\kappa \\) es constante. Esto nos dice que \\(\\partial \\Omega \\) es una circunferencia y \\(\\Omega \\) es un disco redondo.<\/p>\n

    Ejercicio 6. A partir de lo anterior, demuestra la desigualdad isoperim\u00e9trica.<\/p>\n

    En la demostraci\u00f3n anterior se ha supuesto que la frontera de un dominio isoperim\u00e9trico \\(\\Omega \\) es de clase \\(C^2\\). Sin embargo, para que la
    \nlongitud de \\(\\partial \\Omega \\) tenga sentido, s\u00f3lo deber\u00edamos suponer que \\(\\partial \\Omega \\) es \\(C^1\\) a trozos. En el siguiente argumento se probar\u00e1 que esta frontera es siempre de clase \\(C^1\\) (la regularidad \\(C^2\\) es tambi\u00e9n cierta, pero su demostraci\u00f3n es m\u00e1s dif\u00edcil).<\/p>\n

    Supongamos entonces que \\(\\Omega \\) es un dominio isoperim\u00e9trico con frontera de clase \\(C^1\\) a trozos (luego no podemos aplicar el argumento de arriba para deducir que \\(\\Omega \\) sea un disco redondo). Razonaremos por reducci\u00f3n al absurdo, suponiendo que \\(\\partial \\Omega \\) tiene un \u00abpico\u00bb en un punto \\(p\\in \\partial \\Omega \\). La idea\u00a0para llegar a una contradicci\u00f3n es producir un dominio \\(\\Omega _1\\) que tenga menor cociente isoperim\u00e9trico que \\(\\Omega \\), es decir, tal que
    \n$$
    \n\\frac{\\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega _1)^2}{\\mbox{Area}(\\Omega _1)} \\lt \\frac{\\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega )^2}{\\mbox{Area}(\\Omega )} .
    \n$$
    \nEl dominio \\(\\Omega _1\\) se producir\u00e1 cambiando \\(\\Omega \\) en un entorno muy peque\u00f1o \\(U\\) de \\(p\\); como \\(\\partial \\Omega \\) es \\(C^1\\) a trozos, podemos suponer que en \\(U\\cap \\partial \\Omega \\) es arbitrariamente pr\u00f3ximo a dos segmentos rectil\u00edneos \\(r_1,r_2\\) que se cortan en \\(p_0\\) con cierto \u00e1ngulo positivo. Distinguimos dos casos:<\/p>\n