{"id":546,"date":"2016-02-10T22:41:16","date_gmt":"2016-02-10T22:41:16","guid":{"rendered":"http:\/\/wdb.ugr.es\/~jperez\/?page_id=546"},"modified":"2020-03-05T09:37:08","modified_gmt":"2020-03-05T08:37:08","slug":"la-desigualdad-isopermetrica-ii","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/la-desigualdad-isopermetrica-ii\/","title":{"rendered":"La desigualdad isoperim\u00e9trica (II)"},"content":{"rendered":"

En esta entrada veremos la demostraci\u00f3n dada por Schmidt en 1939 de la desigualdad isoperim\u00e9trica en el plano:<\/p>\n

Teorema.<\/strong>
\nDado un dominio compacto y regular \\(\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2\\), se tiene:
\n$$
\n4\\pi \\mbox{Area}(\\Omega )\\leq \\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega )^2,
\n\\quad \\mbox{\u00ab=\u00bb} \\Longleftrightarrow \\Omega \\mbox{ es un disco
\nredondo.}
\n$$
\nEs de destacar la sencillez de la prueba, que s\u00f3lo usa geometr\u00eda
\nelemental, y que no supone existencia de dominios isoperim\u00e9tricos.<\/p>\n

Fijamos un dominio compacto y regular \\(\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2\\). Tomamos una direcci\u00f3n \\(v\\in \\mathbb{R}^2-\\{ 0\\} \\).<\/p>\n

Ejercicio 1. Prueba que existen rectas \\(L,L’\\) paralelas a \\(v\\) que son tangentes a \\(\\partial \\Omega \\) y tales que \\(\\Omega \\) est\u00e1 contenido en la banda cerrada con borde \\(L\\cup L’\\).<\/p>\n

Llamamos \\(2r\\gt 0\\) a la distancia de \\(L\\) a \\(L’\\). Ahora consideramos una circunferencia \\(S^1\\) de radio \\(r\\) que sea tangente a \\(L\\) y a \\(L’\\). Tomamos coordenadas cartesianas en \\(\\mathbb{R}^2\\) de forma que el centro de \\(S^1\\) es \\((0,0)\\) y las rectas \\(L,L’\\) vienen dadas por
\n$$
\nL=\\{ x=r\\} ,\\qquad L’=\\{ x=-r\\} .
\n$$
\nRespecto de estas coordenadas, podemos parametrizar \\(\\partial \\Omega \\) por el arco mediante \\(\\alpha (s)=(x(s),y(s))\\), \\(s\\in [0,B]\\), de forma que \\(\\alpha (0)=\\alpha (B)\\in L\\), siendo \\(B=\\mbox{Longitud}(\\partial \\Omega )\\). As\u00ed, existir\u00e1 \\(s_1\\in (0,B)\\) tal que \\(\\alpha (s_1)\\in L’\\) (posiblemente \\(s_1\\) no es \u00fanico), como en la siguiente figura:<\/p>\n

\"isoper\"<\/a><\/p>\n

Ejercicio 2. Demuestra que existe una funci\u00f3n \\(\\overline{y}\\colon [0,B]\\to R \\) de clase \\(C^1\\) tal que \\(\\overline{\\alpha }(s)=(x(s),\\overline{y}(s))\\) parametriza la circunferencia \\(S^1\\).<\/p>\n

De esta forma, en cada instante \\(s\\), los puntos \\(\\alpha (s)\\) y \\(\\overline{\\alpha }(s)\\) est\u00e1n sobre la misma recta vertical, como en la figura de arriba. <\/p>\n

En esta p\u00e1gina<\/a> vimos c\u00f3mo calcular el \u00e1rea de los recintos encerrados por \\(\\alpha \\) y \\(\\overline{\\alpha }\\):
\n$$
\n\\mbox{Area}(\\Omega )=\\int _0^Bx(s)y'(s)\\, ds, \\qquad \\pi r^2=-\\int _0^B\\overline{y}(s)x'(s)\\, ds,
\n$$
\nluego
\n$$
\n\\mbox{(a)}\\hspace{2cm}
\n\\mbox{Area}(\\Omega )+\\pi r^2=\\int _0^B(xy’-\\overline{y}x’)ds\\leq \\int _0^B\\sqrt{(xy’-\\overline{y}x’)^2}ds.
\n$$
\nEjercicio 3. Usa la desigualdad de Schwarz para probar que \\(\\forall s\\in [0,B]\\),
\n$$
\n\\left[ x(s)y'(s)-\\overline{y}(s)x'(s)\\right] ^2\\leq \\left[ x(s)^2+(\\overline{y}(s))^2\\right] \\left[ (y'(s)^2+x'(s)^2\\right] ,
\n$$
\ny deduce que
\n$$
\n\\left[ xy'(s)-\\overline{y}x’\\right] ^2\\leq r^2\\qquad \\mbox{ en }\\ [0,B].
\n$$<\/p>\n

Usando el ejercicio 3 en (a), tenemos
\n$$
\n\\mbox{(b)}\\hspace{2cm}\\mbox{Area}(\\Omega )+\\pi r^2\\leq \\int _0^Br\\, ds=rB.
\n$$
\nPor otro lado, la relaci\u00f3n entre la media geom\u00e9trica y la media aritm\u00e9tica de n\u00fameros positivos implica que
\n$$
\n\\mbox{(c)}\\hspace{2cm}\\sqrt{\\mbox{Area}(\\Omega )\\cdot \\pi r^2}\\leq \\frac{1}{2}\\left( \\mbox{Area}(\\Omega )+\\pi r^2\\right) ^2.
\n$$
\nDe (b) y (c) deducimos que
\n$$
\n\\mbox{Area}(\\Omega )\\cdot \\pi r^2\\leq \\frac{1}{4}r^2B^2,
\n$$
\nque es la desigualdad isoperim\u00e9trica.<\/p>\n

Supongamos ahora que se da la igualdad en la desigualdad isoperm\u00e9trica. Entonces, tiene que darse la igualdad en cada desigualdad del desarrollo anterior. En particular:<\/p>\n

    \n
  1. La igualdad en (c) implica que \\(\\mbox{Area}(\\Omega )=\\pi r^2\\). De aqu\u00ed deducimos que \\(r\\) no depende de la direcci\u00f3n \\(v\\) que tomamos al principio.<\/li>\n
  2. La igualdad en (b) implica que se da la igualdad en la desigualdad de Schwarz (ejercicio 3). Por tanto, existe \\(\\lambda =\\lambda (s)\\) tal que \\((x,\\overline{y})=\\lambda (y’,x’)\\).\n<\/li>\n<\/ol>\n

    Ejercicio 4. En el caso 2 anterior, deduce que \\(\\lambda \\) es constante \\(\\pm r\\).<\/p>\n

    Acabamos de probar que \\(y’=\\pm \\frac{1}{r}x\\). Como \\(r\\) no depende de la direcci\u00f3n \\(v\\), podemos intercambiar los papeles de \\(x,y\\) con lo que obtendremos an\u00e1logamente \\(x’=\\pm \\frac{1}{r}y\\). Por tanto,
    \n$$
    \nx^2+y^2=r^2[ (y’)^2+(x’)^2]=r^2,
    \n$$
    \nde donde deducimos que \\(\\Omega \\) es un disco de radio \\(r\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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