{"id":556,"date":"2016-02-10T22:54:58","date_gmt":"2016-02-10T22:54:58","guid":{"rendered":"http:\/\/wdb.ugr.es\/~jperez\/?page_id=556"},"modified":"2018-11-03T12:52:45","modified_gmt":"2018-11-03T11:52:45","slug":"curvatura-coordenadas-polares-y-ecuaciones-implicitas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/curvatura-coordenadas-polares-y-ecuaciones-implicitas\/","title":{"rendered":"Curvatura, coordenadas polares y ecuaciones impl\u00edcitas"},"content":{"rendered":"

En clase hemos visto c\u00f3mo calcular la curvatura de una curva plana regular si tenemos una parametrizaci\u00f3n en coordenadas cartesianas \\(\\alpha (t)=(x(t),y(t))\\). En esta p\u00e1gina tienes las f\u00f3rmulas necesarias para calcular la curvatura usando coordenadas grafo, polares o cuando s\u00f3lo disponemos de la ecuaci\u00f3n impl\u00edcita de la curva.<\/p>\n

    \n
  1. Sea \\(f\\colon (a,b)\\to \\mathbb{R}\\) una funci\u00f3n diferenciable y \\(\\alpha \\colon (a,b)\\to \\mathbb{R}^2\\) la curva dada por \\(\\alpha (t)=(t,f(t))\\). Probar que la curvatura de \\(\\alpha \\) viene dada por
    \n$$
    \n\\kappa =\\frac{f^{\\prime \\prime}}{[1+(f’)^2]^{3\/2}}.
    \n$$\n<\/li>\n
  2. Sea \\(\\beta (\\theta )=r(\\theta )(\\cos \\theta ,\\sin \\theta )\\) una curva plana escrita en coordenadas polares, donde \\(r(\\theta )\\) es una funci\u00f3n de clase \\(C^{\\infty }\\) y positiva. Demostrar que la curvatura de \\(\\beta \\) es
    \n$$
    \n\\kappa =\\frac{2(r’)^2-rr^{\\prime \\prime}+r^2}{[r^2+(r’)^2]^{3\/2}}.
    \n$$\n<\/li>\n
  3. Sea \\(F\\colon O\\to \\mathbb{R}\\) una funci\u00f3n diferenciable definida en un abierto \\(O\\) de \\(\\mathbb{R}^2\\), y \\(a\\in \\mathbb{R}\\) un valor regular de \\(F\\), es decir, \\(F^{-1}(\\{ a\\} )\\neq \\emptyset \\) y \\(\\forall (x,y)\\in F^{-1}(\\{ a\\} )\\), \\(\\nabla F(x,y)\\neq (0,0)\\), donde \\(\\nabla F\\) denota el gradiente de \\(F\\). Demostrar que cada componente conexa del conjunto \\(\\{ (x,y)\\in O \\ | \\ F(x,y)=a\\} \\) es una curva regular, y que su curvatura (salvo el signo) viene dada por
    \n$$
    \n\\kappa =\\frac{(\\nabla ^2F)(J\\nabla F,J\\nabla F)}{\\| \\nabla F\\| ^3},
    \n$$
    \ndonde \\(\\nabla ^2F\\) es el hessiano de \\(F\\) y \\(J\\) es el giro de 90\u00ba.<\/li>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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