{"id":572,"date":"2016-02-11T08:15:29","date_gmt":"2016-02-11T08:15:29","guid":{"rendered":"http:\/\/wdb.ugr.es\/~jperez\/?page_id=572"},"modified":"2016-02-11T08:17:21","modified_gmt":"2016-02-11T08:17:21","slug":"ovaloides","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/ovaloides\/","title":{"rendered":"Ovaloides"},"content":{"rendered":"

Hemos visto en clase la interpretaci\u00f3n de que un punto de una superficie sea el\u00edptico o hiperb\u00f3lico, en t\u00e9rminos del comportamiento local de la superficie respecto al plano tangente af\u00edn en ese punto.<\/p>\n

Una superficie \\(S\\subset \\mathbb{R}^3\\) se dice un ovaloide<\/b> si es compacta, conexa y todos sus puntos son el\u00edpticos, es decir su curvatura de Gauss es estrictamente positiva. Las esferas y los elipsoides son ejemplos de ovaloides. Demuestra las siguientes propiedades de cualquier ovaloide \\(S\\):<\/p>\n

    \n
  1. La aplicaci\u00f3n de Gauss \\(N\\colon S\\to \\mathbb{S}^2(1)\\) es un difeomorfismo local.<\/li>\n
  2. \\(S\\) es difeomorfo a una esfera.<\/li>\n<\/ol>\n

    Por ser sus puntos el\u00edpticos, un ovaloide tiene la propiedad de que siempre cae localmente a un lado del plano tangente af\u00edn en cualquiera de sus puntos. Esta idea de convexidad puede demostrarse de forma global, y forma parte del Teorema de Hadamard:<\/p>\n

    Teorema.<\/strong>
    \nEl dominio interior de un ovaloide \\(S\\) es un abierto convexo de \\(\\mathbb{R}^3\\).<\/p>\n

    Para ver una demostraci\u00f3n de este teorema, consultar el libro \u00abCurvas y superficies\u00bb de Sebasti\u00e1n Montiel y Antonio Ros.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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