\nArqu\u00edmedes (287-212 A.C.) fue hijo del astr\u00f3nomo Fidias, quien le indujo el inter\u00e9s cient\u00edfico por explicar la naturaleza que nos rodea. Adem\u00e1s de matem\u00e1tico, Arqu\u00edmedes fue un notable f\u00edsico, ingeniero y cient\u00edfico, quiz\u00e1s el m\u00e1s sobresaliente de la antig\u00fcedad. Son famosos algunos de sus inventos:<\/p>\n
- \n
- La catapulta<\/b> y el sistema de espejos y lentes<\/b> usados contra los romanos en la defensa del asedio de Siracusa. Quiz\u00e1s el gran \u00e9xito de estos sistemas defensivos (el segundo reflejaba la luz del sol dificultando la punter\u00eda de los romanos) supuso el final de Arqu\u00edmedes: los habitantes de Siracusa, ante el \u00e9xito de los artilugios defensivos ideados por Arqu\u00edmedes, relajaron la vigilancia de la ciudad, que fue tomada al asalto por los romanos. Arqu\u00edmedes muri\u00f3 en este asalto, y nos han llegado dos leyendas sobre su muerte; en una de ellas, Arqu\u00edmedes es situado en sus aposentos cuando los romanos entraron en medio del estruendo propio del asalto. Arqu\u00edmedes, absorto en sus investigaciones, no hizo caso de las \u00f3rdenes romanas y fue asesinado all\u00ed mismo. En la otra versi\u00f3n, Arqu\u00edmedes estaba en la playa realizando c\u00e1lculos geom\u00e9tricos cuando los romanos irrumpieron en ella y los destruyeron; el matem\u00e1tico se enfrent\u00f3 a los militares romanos por ese motivo, lo que le supuso la muerte. Se dice que sus \u00faltimas palabras fueron \u00abno molestes a mis c\u00edrculos\u00bb).<\/li>\n
- La polea compuesta y <\/b>el tornillo<\/b> que lleva su nombre (este artilugio permite elevar agua mediante una superficie de tipo helicoidal que gira alrededor de un eje; puede verse uno de estos tornillos de Arqu\u00edmedes aqu\u00ed<\/a> o en el Parque de las Ciencias de Granada).<\/li>\n
- La palanca<\/b> (es famosa la frase de Arqu\u00edmedes \u00abdadme un punto de apoyo y mover\u00e9 el mundo\u00bb, en referencia a este \u00fatil invento) y el Principio de Hidrost\u00e1tica:<\/b> \u00abun cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja\u00bb.<\/li>\n<\/ul>\n
Pero Arqu\u00edmedes prefer\u00eda, por encima de otras disciplinas, la Matem\u00e1tica y en particular la Geometr\u00eda, hasta reflejarla en su epitafio, que representaba un cilindro circunscrito a una esfera. Entre los logros matem\u00e1ticos de Arqu\u00edmedes podemos resaltar los siguientes:<\/p>\n
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- Aproximaci\u00f3n de \\(\\pi \\)<\/b> o m\u00e1s concretamente, de la raz\u00f3n \\(L\/d\\), donde \\(L\\) es la longitud de la circunferencia y \\(d\\) su di\u00e1metro: Inscribiendo una circunferencia en un cuadrado y comparando longitudes deducimos que \\(L \\lt 4d\\). Inscribiendo un hex\u00e1gono regular en la misma circunferencia obtendremos \\(3d \\lt L\\). Uniendo ambas desigualdades se obtiene \\(3 \\lt \\pi \\lt 4\\). Usando aproximaciones de la circunferencia por otros pol\u00edgonos regulares de m\u00e1s lados (\u00a1 hasta 96 !), Arqu\u00edmedes prob\u00f3 rigurosamente que
\n$$
\n3,1408 \\sim 223\/71 \\lt \\pi \\lt 22\/7\\sim 3,1428
\n$$
\n(\u00a1 un error menor que una mil\u00e9sima !). En este razonamiento encontramos algo que coment\u00e1bamos arriba: la aproximaci\u00f3n de la longitud de una curva por longitudes de poligonales convexas con los mismos extremos.<\/li>\n- Cuadratura de la par\u00e1bola<\/b>: Una secci\u00f3n de par\u00e1bola \\(R\\) (encerrada por una cuerda de \u00e9sta y un segmento perpendicular al eje de la par\u00e1bola) excede en un tercio al \u00e1rea del tri\u00e1ngulo \\(T\\) de igual base que \\(R\\) y cuyo v\u00e9rtice es el de la par\u00e1bola, es decir:
\n$$
\n3 \\mbox{ Area}(R) = 4 \\mbox{ Area} (T).
\n$$<\/li>\n- El \u00e1rea de una esfera es el cu\u00e1druple del \u00e1rea de su c\u00edrculo m\u00e1ximo (o en lenguaje moderno, \\(4\\pi R^2\\) donde \\(R\\) es el radio).<\/li>\n
- El volumen de una media esfera de radio \\(R\\) sumado con el volumen del cono de v\u00e9rtice el centro de la esfera, radio \\(R\\) y altura \\(R\\), es igual al volumen del cilindro de radio \\(R\\) y altura \\(R\\) (el razonamiento de Arqu\u00edmedes era un precedente del teorema de Fubini, ya que relacion\u00f3 las \u00e1reas de las secciones de los tres cuerpos mediante planos paralelos a la base del cilindro, de altura variable \\(d\\) entre \\(0\\) y \\(R\\)):
\n![\"semiesfera-arq\"](\"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/wordpress\/wp-content\/uploads\/semiesfera-arq.gif\")
<\/a><\/li>\n- Su teorema favorito (hizo grabarlo en su tumba como epitafio): El volumen encerrado por una esfera de radio \\(r\\) es \\(2\/3\\) del volumen encerrado por el cilindro circunscrito, es decir, de radio \\(r\\) y altura \\(2r\\). Si cambiamos volumen encerrado por \u00e1rea, la ecuaci\u00f3n que relaciona ambas \u00e1reas es exactamente la misma.
\n![\"esfera-cilindro\"](\"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/wordpress\/wp-content\/uploads\/esfera-cilindro.jpg\")
<\/a><\/li>\n<\/ol>\nA la vista de los resultados anteriores, podemos concluir que Arqu\u00edmedes estaba muy interesado en la geometr\u00eda, y m\u00e1s particularmente, en longitudes, \u00e1reas y vol\u00famenes. A continuaci\u00f3n reproducimos un pasaje de uno de sus libros, \u00abSobre la esfera y el cilindro\u00bb, donde puede admirarse el rigor en la exposici\u00f3n y conceptos, as\u00ed como una primera aproximaci\u00f3n al concepto de longitud de una curva y \u00e1rea de una superficie mediante aproximaci\u00f3n por poligonales o superficies poli\u00e9dricas convexas, con lo que volvemos al tema del principio de esta entrada. Es de resaltar el detalle de que Arqu\u00edmedes s\u00f3lo considera aproximaciones convexas, en un alarde de perspicacia. M\u00e1s adelante veremos m\u00e1s sobre esto.<\/p>\n
\u00abSobre la esfera y el cilindro\u00bb<\/i><\/p>\n
Arqu\u00edmedes a Dosifeo, \u00a1salud! De las proposiciones que hab\u00eda estudiado redact\u00e9 y te envi\u00e9 antes con su demostraci\u00f3n la de que todo segmento comprendido por una recta y una par\u00e1bola es cuatro tercios del tri\u00e1ngulo que tiene la misma base y la misma altura que el segmento.<\/em><\/p>\n
Como despu\u00e9s se me ocurrieron teoremas dignos de menci\u00f3n, me he estado ocupando en sus demostraciones. Y son \u00e9stos: primero, que la superficie de toda esfera es el cu\u00e1druple del c\u00edrculo m\u00e1ximo de los que hay en ella, luego que la superficie de todo casquete esf\u00e9rico es igual a la del c\u00edrculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el v\u00e9rtice del casquete a la circunferencia del c\u00edrculo que sirve de base al casquete; adem\u00e1s de \u00e9stos, que en toda esfera, el cilindro que tiene su base igual al c\u00edrculo m\u00e1ximo de los de la esfera y una altura igual al di\u00e1metro de la esfera, es, el mismo, una vez y media la esfera y su superficie una vez y media la de la esfera.<\/em><\/p>\n
Estas propiedades de las figuras mencionadas exist\u00edan desde antes en la naturaleza, pero eran desconocidas por quienes se dedicaron a la geometr\u00eda antes que nosotros, porque a ninguno se le ocurri\u00f3 que hubiera una conmensurabilidad entre estas figuras. Por ello yo no dudar\u00eda en comparar estas proposiciones con las estudiadas por otros ge\u00f3metras y entre ellas, con las de Eudoxo relativas a los cuerpos s\u00f3lidos, que parecen tan sobresalientes: la de que toda pir\u00e1mide es un tercio del prisma que tiene la misma base que la pir\u00e1mide e igual altura, y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cono e igual altura.<\/em><\/p>\n
Aunque por naturaleza estas figuras ten\u00edan desde antes estas propiedades y aunque hab\u00edan existido antes de Euxodo muchos ge\u00f3metras dignos de menci\u00f3n, ocurri\u00f3 que fueron ignoradas por todos y que ninguno cay\u00f3 en la cuenta. Quienes est\u00e9n capacitados podr\u00e1n examinarlas. Hubiera yo debido publicarlas en vida de Con\u00f3n, pues le consideraba especialmente capaz de meditar sobre ellas y emitir un juicio adecuado; considerando que es conveniente comunicarlas a los familiarizados con las matem\u00e1ticas, he redactado para envi\u00e1rtelas las demostraciones sobre las que podr\u00e1n investigar quienes se dedican a las matem\u00e1ticas.<\/em>
\n Que sigas bien.<\/em><\/p>\nVan primero las definiciones y postulados para las demostraciones.<\/em><\/p>\n
1. Definiciones: En el plano hay algunas l\u00edneas curvas finitas que o bien est\u00e1n enteras por el mismo lado de las rectas que unen sus extremos o bien no tienen ning\u00fan punto por el otro lado. Llamo c\u00f3ncava por el mismo lado a una l\u00ednea tal que si en ella tomamos dos puntos cualesquiera, las rectas entre esos puntos o bien caen enteras hacia el mismo lado de la l\u00ednea o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia l\u00ednea, pero ninguna hacia el otro lado.<\/em><\/p>\n
Igualmente existen tambi\u00e9n superficies finitas que no est\u00e1n situadas ellas mismas en un plano, pero tienen sus extremos en un plano, las cuales estar\u00e1n o bien enteras hacia el mismo lado del plano en el que tienen sus extremos o bien no tendr\u00e1n ninguna parte hacia el otro lado. Y llamo c\u00f3ncavas hacia el mismo lado a superficies tales que, si se toman dos puntos en ellas, las rectas entre esos puntos caen o bien enteras hacia el mismo lado de la superficie o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia superficie, pero ninguna hacia el otro lado.<\/em><\/p>\n
2. Postulados: Postulo lo siguiente:<\/em>
\n De la l\u00ednea que tiene los mimos extremos, la recta es la m\u00e1s corta. De las otras l\u00edneas, si estando en un plano tienen los mismos extremos, tales l\u00edneas son desiguales, siempre que ambas sean c\u00f3ncavas hacia el mismo lado y o bien una de ellas est\u00e9 completamente comprendida por la otra y la recta que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte est\u00e9 comprendida y otra parte sea com\u00fan; y la l\u00ednea comprendida es menor.<\/em><\/p>\nDe modo semejante, de las superficies que tienen los mismos extremos, si tienen los extremos en un plano, la menor es el plano. De las otras superficies que tambi\u00e9n tienen los mismos extremos, si los extremos est\u00e1n en un plano, tales superficies son desiguales, puesto que si ambas superficies fueran c\u00f3ncavas hacia el mismo lado, o bien una superficie estar\u00e1 comprendida entera por la otra y por el plano que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte estar\u00e1 comprendida y otra la tendr\u00e1 en com\u00fan; y la superficie comprendida ser\u00e1 menor.<\/em><\/p>\n
\nHemos visto c\u00f3mo Arqu\u00edmedes parece indicar que el c\u00e1lculo de la longitud de una curva o del \u00e1rea de una superficie podemos usar aproximaciones poligonales o poli\u00e9dricas convexas. En el caso de una curva, pueden usarse aproximaciones poligonales cualesquiera, pero tal generalidad no se extiende al c\u00e1lculo de \u00e1reas de superficies, como pondr\u00e1 de manifiesto la Paradoja de Schwarz<\/b>, que veremos en la siguiente entrada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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- Cuadratura de la par\u00e1bola<\/b>: Una secci\u00f3n de par\u00e1bola \\(R\\) (encerrada por una cuerda de \u00e9sta y un segmento perpendicular al eje de la par\u00e1bola) excede en un tercio al \u00e1rea del tri\u00e1ngulo \\(T\\) de igual base que \\(R\\) y cuyo v\u00e9rtice es el de la par\u00e1bola, es decir:
- La polea compuesta y <\/b>el tornillo<\/b> que lleva su nombre (este artilugio permite elevar agua mediante una superficie de tipo helicoidal que gira alrededor de un eje; puede verse uno de estos tornillos de Arqu\u00edmedes aqu\u00ed<\/a> o en el Parque de las Ciencias de Granada).<\/li>\n