{"id":641,"date":"2016-02-11T13:23:26","date_gmt":"2016-02-11T13:23:26","guid":{"rendered":"http:\/\/wdb.ugr.es\/~jperez\/?page_id=641"},"modified":"2020-03-05T09:35:12","modified_gmt":"2020-03-05T08:35:12","slug":"la-banda-de-mobius","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wpd.ugr.es\/~jperez\/la-banda-de-mobius\/","title":{"rendered":"La banda de M\u00f6bius"},"content":{"rendered":"

Aqu\u00ed ten\u00e9is detalles sobre la banda de M\u00f6bius como superficie no orientable.<\/p>\n

Parametrizaci\u00f3n de la banda de M\u00f6bius<\/b>
\nConsideremos el segmento \\(S=\\{ (0,0,t)\\ : \\ |t|\\lt \\varepsilon \\} \\) para un \\(\\varepsilon\\gt 0\\) suficientemente peque\u00f1o (en la figura de abajo se ha tomado \\(\\varepsilon =0.3\\)). La idea para parametrizar una cinta de M\u00f6bius es la siguiente:<\/p>\n

Consideramos la circunferencia unidad en el plano \\(\\{ z=0 \\}\\), parametrizada por \\(\\alpha (\\theta)=(\\cos \\theta,\\sin \\theta,0)\\), \\(|\\theta |\\lt \\pi\\). Para cada \\(\\theta\\) giramos el segmento \\(S\\) un \u00e1ngulo de \\(\\theta\/2\\) alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto \\((1,0,0)\\) y giramos \u00e1ngulo \\(\\theta\\) ahora con eje de giro OZ.<\/p>\n

Al recorrer \\(\\theta\\) todo el intervalo \\((-\\pi,\\pi)\\), el centro de nuestro segmento habr\u00e1 recorrido toda la circunferencia \\(\\alpha ([0,2\\pi ))\\), pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegar\u00e1 con la orientaci\u00f3n cambiada respecto a la original con la que sali\u00f3 (se habr\u00e1 girado un \u00e1ngulo \\(\\pi\\)). Por tanto, esta construcci\u00f3n nos proporciona una banda de M\u00f6bius. Ahora hacemos las cuentas:<\/p>\n

La matriz del giro de \\(\\theta\/2\\) respecto del eje OY, respecto de la base usual, es
\n$$
\n\\left(\\begin{array}{ccc}
\n\\cos (\\theta\/2 & 0 & \\sin(\\theta\/2)\\\\
\n0 & 1 & 0 \\\\
\n-\\sin(\\theta\/2)& 0 & \\cos(\\theta\/2)
\n\\end{array}\\right)
\n$$
\nRotamos el segmento \\(S\\), obteniendo los puntos
\\[
\\left(\\begin{array}{ccc}
\\cos (\\theta\/2)&0&\\sin(\\theta\/2)\\\\
0&1&0\\\\
-\\sin(\\theta\/2)&0&\\cos(\\theta\/2)
\\end{array}\\right)
\\left(\\begin{array}{c}
0\\\\
0\\\\
t
\\end{array}\\right)
=
\\left(\\begin{array}{c}
t \\sin(\\theta\/2)\\\\
0\\\\
t \\cos(\\theta\/2)
\\end{array}\\right) ,
\\]
\npara todo \\(t\\in (-\\varepsilon ,\\varepsilon )\\).
\nAhora trasladamos este \u00faltimo segmento (cuyo centro es el origen \\((0,0,0)\\)) sum\u00e1ndole \\((1,0,0)\\), obteniendo \\((1+t \\sin(\\theta\/2),0,t \\cos(\\theta\/2))\\), \\(|t|\\lt\\varepsilon \\).<\/p>\n

Por \u00faltimo, giramos el segmento que acabamos de obtener un \u00e1ngulo \\(\\theta\\) alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en \\(\\theta \\in (0,2\\pi )\\)) y obtendremos una parametrizaci\u00f3n de nuestra banda de M\u00f6bius:
\\[
X(t,\\theta)=\\left( \\begin{array}{ccc}
\\cos\\theta&\\sin\\theta&0\\\\
-\\sin\\theta&\\cos\\theta&0\\\\
0&0&1
\\end{array}\\right)
\\left(
\\begin{array}{c}
1+t \\sin(\\theta\/2)\\\\
0
\\\\
t \\cos(\\theta\/2)
\\end{array}
\\right)
=\\left(
\\begin{array}{c}
\\cos\\theta(1+t \\sin(\\theta\/2))\\\\
-\\sin\\theta(1+t \\sin(\\theta\/2))\\\\
t \\cos(\\theta\/2)
\\end{array}
\\right)
\\]
\ndonde \\((t,\\theta)\\in (-\\varepsilon ,\\varepsilon )\\times (-\\pi,\\pi)\\). Como hemos dicho antes, tomamos \\(\\varepsilon \\) suficientemente peque\u00f1o como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gr\u00e1fico producido con Mathematica muestra que \\(\\varepsilon =0.3\\) es v\u00e1lido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que \\(X\\) est\u00e9 definida en un abierto de \\(\\mathbb{R}^2\\) (necesario para que sea parametrizaci\u00f3n), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrizaci\u00f3n dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos \\(\\Sigma \\).<\/p>\n

\"Mobius\"<\/a><\/p>\n

No orientabilidad de la banda de M\u00f6bius<\/b><\/p>\n

Para ver que \\(\\Sigma \\) no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicaci\u00f3n de Gauss \\(N:\\Sigma\\rightarrow\\mathbb{S}^2\\) (en particular, \\(N\\) es de clase \\(C^\\infty\\)). Comprobemos que \\(N\\) no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo c\u00e1lculos en la parametrizaci\u00f3n anterior,
\\[
X_t(t,\\theta )=(\\cos \\theta \\sin (\\theta\/2),-\\sin \\theta\\sin(\\theta\/2),\\cos(\\theta\/2))
\\]
\\[
X_\\theta(0,\\theta)=(-\\sin \\theta,-\\cos \\theta,0)
\\]
luego el vector
\\[
(X_t\\times X_{\\theta })(0,\\theta )=(\\cos \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin(\\theta\/2))
\\]
\nlleva la direcci\u00f3n normal a \\(\\Sigma \\) en \\(X(0,\\theta )\\). Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicaci\u00f3n de Gauss en t\u00e9rminos de \\(X_t\\times X_{\\theta }\\) (que normaliza este \u00faltimo vector) no va a intervenir porque \\(\\| X_t\\times X_{\\theta }\\| \\) siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos considerando. Ahora podemos calcular la direcci\u00f3n de \\((X_t\\times X_{\\theta })(0,\\theta )\\) al salir por \\(\\theta =0\\) (calculamos el l\u00edmite lateral cuando \\(\\theta \\to 0^+\\)):
\\[
\\lim_{\\theta\\to 0^+}\\left( \\cos \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin(\\theta\/2)\\right) =(1,0,0),
\\]
\nmientras que la direcci\u00f3n de \\((X_t\\times X_{\\theta })(0,\\theta )\\) al llegar por \\(\\theta =2\\pi \\) (llegamos al mismo punto de \\(\\Sigma \\) que antes, pero ahora calculamos el l\u00edmite lateral cuando \\(\\theta \\to 2\\pi ^-\\)) es:
\\[
\\lim_{\\theta\\to 2\\pi^-}\\left( \\cos \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin \\theta\\cos(\\theta\/2),-\\sin(\\theta\/2)\\right)
=(-1,0,0),
\\]
\nY aqu\u00ed tenemos la contradicci\u00f3n, ya que de existir la aplicaci\u00f3n de Gauss tendr\u00edamos el mismo l\u00edmite lateral en los dos casos (ser\u00eda el valor de la aplicaci\u00f3n de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducci\u00f3n anal\u00edtica del hecho de que al seguir continuamente una determinaci\u00f3n del normal y darle una vuelta a la banda de M\u00f6bius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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