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Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$, de número enteros, que verifican $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=c$.
Pista. Desarrolla la expresión $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$, para obtener $(a-1)(b-1)=1$.
Solución.
Tenemos que $a$ y $b$ no son nulos y que $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ es siempre positivo y comprendido entre 0 y 2, por lo que tenemos sólo dos posibles valores para $c$: 1 ó 2.
Como $c\neq0$, podemos modificar la expresión $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=c$ a la siguiente: $\frac{1}{ca^2}+\frac{1}{cb^2}=1$, y de aquí se tiene $(ca^2-1)(cb^2-1)=1$, por tanto $ca^2-1=cb^2-1=1$, de donde se tiene $ca^2=cb^2=2$.
Si $c=2$, entonces tenemos que resolver $a^2+b^2=1$, cuyas soluciones enteras son: $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$ y $(-1,-1)$.
Si $c=1$, entonces tenemos que resolver $a^2+b^2=\frac{1}{2}$, que no tiene soluciones enteras.
Las ternas solución son: $(1,1,2)$, $(1,-1,2)$, $(-1,1,2)$ y $(-1,-1,2)$.
Ref.: 5221e_003
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Encuentra los pares $(m,n)$, de enteros positivos, que verifican $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}=\frac{3}{4}$.
Pista. Estudia valores pequeños de $m$ y $n$.
Solución.
Primero observamos que si $m=1$ ó $n=1$, entonces no se verifica la condición, ya que el miembro de la izquierda tiene un sumando igual a 1.
Tenemos entonces que $m,n\geq2$.
Si $n=2$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{4+1}{4m}=\frac{1}{4}$, de donde $m=5$. Un par es: $(5,2)$.
Si $n=3$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{9+1}{9m}=\frac{5}{12}$, y por tanto $m$ no sería entero.
Si $n=4$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{16+1}{16m}=\frac{2}{4}$, y por tanto $m$ no sería entero.
Si $n\geq5$, como $m\geq2$, tenemos: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}\geq\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{50}=\frac{18}{25}>\frac{3}{4}$. No existe solución si $n\geq5$.
Ref.: 5221e_002
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Halla todos los enteros positivos $n$ que verifican $n=s+u^2$, donde $s$ es la suma de las cifras de $n$ y $u$ es la cifra de las unidades de $n$.
Pista. Cuando $n$ es muy grande, entonces $n$ es mayor que $s+u^2$.
Solución. Veamos los tamaños de $n$ y de $s+u^2$.
\par
Si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $10^{k-1}\leq{n}<10^k$, y $s+u^2\leq{9k+9^2}$. En el caso en el que $9k+9^2<10^{k-1}$ no podrá haber números $n$ de $k$ cifras verificando la condición. Observa que se tiene:
\[
\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline
\;\;\;{k}\;\;\;&\;\;\;{9k+9^2}\;\;\;&\;\;\;\textrm{¿?}\;\;\;&\;\;\;{10^{k-1}}\;\;\;\\\hline\hline
1 &9+81=90 &\geq &1\\\hline
2 &18+81=99 &\geq &10\\\hline
3 &27+81=108 &\geq &100\\\hline
4 &36+81=117 &< &1000\\\hline
\end{array}
\]
Por tanto $n$ es un número con 1, 2 ó 3 cifras.
\par
Sea $k=1$, entonces $s+u^2=n+n^2=n(1+n)$; si es igual a $n$, se tendría $1+n=1$, y por tanto $n=0$, lo que es imposible ya que $n$ es un entero positivo.
\par
Sea $k=3$, entonces $s+u^2\leq(9k+9^2)=108$; los únicos entonces posibles serían $n=100$, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, y ninguno de ellos verifica la condición.
\par
Sea $k=2$, supongamos que las cifras de $n$ son $a,b$, entonces se verifica: $10a+b=(a+b)+b^2$, esto es, $9a=b^2$. Por tanto $3\mid{b}$, sea $b=3c$, se tiene $a=c^2$, de donde $c=1,2$ ó 3, y por tanto tenemos los siguientes posibles valores para $n$:
\[
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
\;\;\;{c}\;\;\;&\;\;\;{a}\;\;\;&\;\;\;{b}\;\;\;&\;\;\;{n}\;\;\;&\;\;\;\textrm{¿?}\;\;\;\\\hline\hline
1 &1 &3 &13 &\textrm{válido}\\\hline
2 &4 &6 &46 &\textrm{válido}\\\hline
3 &9 &9 &99 &\textrm{válido}\\\hline
\end{array}
\]
Los enteros positivos que verifican la condición son: 13, 46 y 99.
South Africa Mathematical Olympiad, 2010 problema 2
Ref.: 5221e_001
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Prueba que si $n=n_1\cdot{n_2}$, con $n_1$ y $n_2$ primos relativos, entonces $\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_{n_1}\times\mathbb{Z}_{n_2}$.
Pista. Definir $f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}_{n_1}\times\mathbb{Z}_{n_2}$ mediante $f(x)=(\overline{x},\overline{x})$, comprobar que es un homomorfismo, y calcular su núcleo.
Solución.
Definimos $f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}_{n_1}\times\mathbb{Z}_{n_2}$ mediante $f(x)=(\overline{x},\overline{x})$.
$f$ es un homomorfismo.
Por un lado se tiene
$$
\begin{array}{ll}
\textrm{Ker}(f)
&=\{x\in\mathbb{Z}\mid\;x+n_1\mathbb{Z}=0\textrm{ y }x+n_2\mathbb{Z}=0\}\\
&=\{x\in\mathbb{Z}\mid\;x\in{n_1}\mathbb{Z}\cap{n_2}\mathbb{Z}\}\\
&=n_1\mathbb{Z}\cap{n_2}\mathbb{Z}=n_1n_2\mathbb{Z}
\end{array}
$$
Por otro lado $f$ es sobreyectiva, ya que $\textrm{Im}(f)\cong\mathbb{Z}/\textrm{Ker}(f)=\mathbb{Z}/n_1n_2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n_1n_2}=\mathbb{Z}_n$ tiene exactamente $n$ elementos, tantos como $\mathbb{Z}_{n_1}\times\mathbb{Z}_{n_2}$.
Entonces $f$ es un isomorfismo de grupos.
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Determina los ideales y los ideales primos del anillo $\mathbb{Z}$.
Pista. Los ideales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$, para $n\geq{0}$.
Solución. Los ideales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$, para $n\geq{0}$.
Ref.: 1201e_001