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22 problemas.
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Prueba que el grupo $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ no es un grupo cíclico.
Pista. Estudia el orden de los elementos de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.
Solución. Tenemos que cada elemento no nulo de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ genera un grupo de orden 2, por tanto no es un grupo cíclico.
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Prueba que los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$.
Pista. Si $N\neq0$, toma el menor entero positivo $n$ en $N$.
Solución. Sea $N\subseteq\mathbb{Z}$ un subgrupo. Si $N\neq0$, sea $n$ el mínimo de $N\cap\mathbb{N}^*$. Entonces $N=n\mathbb{Z}$.
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Prueba que si $n,m$ son enteros positivos mayores que 1, que no son primos relativos, entonces $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ no es un grupo cíclico.
Pista. Estudia el orden de $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ y el orden de cada uno de sus elementos.
Solución. Tenemos que $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ tiene orden $nm$, y cada elemento tiene orden el mínimo común múltiplo de $n$ y $m$, que es distinto de $nm$, por tanto $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ no es un grupo cíclico.
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Prueba que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Pista. Ten en cuenta que $G$ es un cociente de $\mathbb{Z}$.
Solución. Si $G$ es un grupo cíclico, existe $n\in\mathbb{Z}$ tal que $G\cong\mathbb{Z}_n$. Los subgrupos de $\mathbb{Z}_n$ están en correspondencia biyectiva con los subgrupos de $\mathbb{Z}$ que contienen a $n\mathbb{Z}$, y son cíclicos, luego todo subgrupo de $G$ es cíclico, ya que todo cociente de un grupo cíclico es cíclico.
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Si $a,b\in{G}$ conmutan, entonces el orden de $a+b$ es el $\textrm{mcm}$ de los órdenes de $a$ y de $b$.
Pista. Utiliza las propiedades del $\textrm{mcm}$.
Solución. Sea $d=\textrm{mcd}\{\textrm{ord}(a),\textrm{ord}(b)\}$, entonces $\textrm{mcm}\{\textrm{ord}(a),\textrm{ord}(b)\}=\frac{\textrm{ord}(a)\textrm{ord}(b)}{d}$, y se verifica $Ma=0=Mb$. Por otro lado, si $ha=0=hb$, entonces $\textrm{ord}(a)\mid{h}$ y $\textrm{ord}(b)\mid{h}$, luego $M\mid{h}$. En consecuencia, $M=\textrm{ord}(a+b)$.