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22 problemas.
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Prueba que $\mathbb{Z}[X]$ no es un dominio de ideales principales.
Pista. Considera el ideal $(2,X)$.
Solución. El ideal $(2,X)$ no es principal.
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Determina los subanillos del cuerpo $\mathbb{Q}$ de los números racionales.
Pista. $\Sigma=\{n\in\mathbb{Z}\mid\;n\textrm{ es invertible en }A\}$ es un subconjunto multiplicativo.
Solución. Si $A$ es un subanillo del cuerpo $\mathbb{Q}$ de los números racionales. Prueba que si $\Sigma$ es el conjunto de los elementos $n\in\mathbb{Z}$ que son invertibles en $A$, entonces $A=\Sigma^{-1}Z$.
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Sea $F$ un cuerpo finito de característica $p$. Demuestra que $\mid{F}\mid=p^n$ para algún entero positivo $n$.
Pista. Considera $F$ como un espacio vectorial.
Solución. Si consideramos $\mathbb{F}_p$, entonces $F$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{F}_p$, y por tanto, como espacio vectorial es isomorfo a un $\mathbb{F}_p^n$, para algún $n\in\mathbb{N}$, y tiene $p^n$ elementos.
Ref.: 4161e_001
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Sea $F/K$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in{F}$ un elemento algebraico sobre $K$. Demuestra que los elementos $\alpha+5$ y $\alpha^2$ son algebraicos sobre $K$. En cada uno de los casos, ¿es cierto el recíproco?
Pista. Considera extensiones finitas de $\mathbb{Q}$.
Solución.
Ambos elementos $\alpha+5$ y $\alpha^2$ pertenecen al cuerpo $\mathbb{Q}[\alpha]$ que es una extensión finita de $\mathbb{Q}$. Luego son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$.
Es claro que si $\alpha+5$ es algebraico sobre $K$, entonces $\alpha$ lo es. Si $\alpha+5$ es raíz del polinomio $p(X)\in{K}[X]$, entonces $\alpha$ es raíz del polinomio $p(X+5)$.
De la misma forma, si $\alpha^2$ es raíz del polinomio $p(X)\in{K}[X]$, entonces
$\alpha$ es raíz del polinomio $p(X^2)$; luego si $\alpha^2$ es algebraico sobre $K$, también $\alpha$ lo es.
Ref.: 4161e_003
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Demuestra que el polinomio $f(X)=X^3+3X+1$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$. Si $\alpha$ es una raíz de $f(X)$ en una extensión de $\mathbb{Q}$, calcula $(1+\alpha)(1+\alpha+\alpha^2)$ y $(1+\alpha)/(1+\alpha+\alpha^2)$.
Pista. División de polinomios.
Solución.
Formamos el polinomio $g(X)=f(X-1)=X^3-3X^2+ 6X-3\in\mathbb{Q}[X]$. Es irreducible por el criterio de Eisenstein, luego también lo es $f$.
El primer cálculo consiste en desarrollar el producto y reducir los exponentes utilizando la igualdad $\alpha^3=-3\alpha-1$:
\[
(1+\alpha)(1+\alpha+\alpha^2)=1+2\alpha+2\alpha^2+\alpha^3= -\alpha+2\alpha^2.
\]
Para efectuar el segundo cálculo debemos calcular el inverso de $1+\alpha+\alpha^2$. Para ello utilizamos el algoritmo de Euclides para expresar el $1=\textrm{mcd}(X^2+X+1,X^3+3X+1)$ como combinación lineal de ambos polinomios:
\[
1= \frac{3X^2-2X+8}{7}(X^2+X+1)-\frac{3X+1}{7}(X^3+3X+1).
\]
Sustituyendo $X=\alpha$ obtenemos $1=(3\alpha^2-2\alpha+8)(\alpha^2+\alpha+1)/7$. Luego $(1+\alpha+\alpha^2)^{-1}=(8-2\alpha+3\alpha^2)/7$. El cálculo final consiste en desarrollar y reducir:
\[
\frac{1+\alpha}{1+\alpha +\alpha ^2}=\frac{(1+\alpha)(8-2\alpha+3\alpha^2)}{7}=
\frac{1}{7}(8+6\alpha+\alpha^2+3\alpha^3)=\frac{1}{7}(5-3\alpha+\alpha^2).
\]
Ref.: 4161e_005