Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

Tenemos la relación $x^2+1=x$, por tanto $x$ es una raíz del polinomio $X^2-X+1$.

Al considerar el olinomio $X^2-X+1$ y multiplicarlo por $X+1$ se tiene $X^3+1$, y al valorarlo en $X=x$ se tiene $x^3+1=0$, por tanto $x^3=-1$.

Entonces $x^9+\frac{1}{x^9}=-1+\frac{1}{-1}=-2$.

Solución. Tenemos alumnos $A_1,\ldots,A_t$, y llamamos $a_i$ al conjunto de problemas que ha resuelto el alumno $A_i$. Si $p$ es el total de problemas, se verifica $p=\cup_{i=1}^ta_i$. par Si para todos los índices $i\neq{j}$ se verifica $a_i=a_j$, entonces $a_1=\cup_{i=1}^ta_i=p$, lo que es una contradicción. Existen pues índices $i\neq{j}$ tales que $a_i\neq{a_j}$. Supongamos que $i=1$, $j=2$ y $a_1\subset{a_j}$, entonces los alumnos $A_2,\ldots,A_t$ están en las mismas condiciones que los $t$ alumnos iniciales. Podemos pues descartar al alumno $A_1$. Ésto lo podemos hacer siempre que existan índices $i\neq{j}$ verificando $a_i\subset{a_j}$. Llegamos a un conjunto de alumnos $A_h,\ldots,A_t$ tales que si $ineq{j}$, entonces $a_i\not\subset{a_j}$ y $a_j\not\subset{a_i}$, y por lo tanto tenemos la solución.

Solución. Tenemos alumnos $A_1,\ldots,A_t$, y llamamos $a_i$ al conjunto de problemas que ha resuelto el alumno $A_i$. Si $p$ es el total de problemas, se verifica $p=\cup_{i=1}^ta_i$.
Si para todos los índices $i\neq{j}$ se verifica $a_i=a_j$, entonces $a_1=\cup_{i=1}^ta_i=p$, lo que es una contradicción. Existen pues índices $i\neq{j}$ tales que $a_i\neq{a_j}$. Supongamos que $i=1$, $j=2$ y $a_1\subset{a_j}$, entonces los alumnos $A_2,\ldots,A_t$ están en las mismas condiciones que los $t$ alumnos iniciales. Podemos pues descartar al alumno $A_1$. Ésto lo podemos hacer siempre que existan índices $i\neq{j}$ verificando $a_i\subset{a_j}$. Llegamos a un conjunto de alumnos $A_h,\ldots,A_t$ tales que si $i\neq{j}$, entonces $a_i\not\subset{a_j}$ y $a_j\not\subset{a_i}$, y por lo tanto tenemos la solución.

Solución. Si consideramos $x=f(r)$ e $y=r-f(r)$ se tiene: $$ f(f(r)+f(f(r)+r-f(r)))=f(2f(r))+r-f(r) $$ y desarrollando: $$ f(2f(r))=f(2f(r))+r-f(r) $$ luego $0=r-f(r)$, y resulta $f(r)=r$ para cada número real $r$.

Solución. Observa que módulo $100$ se tiene: $$ 7^0=1\equiv{01},\quad 7^1=7,\equiv{07}\quad 7^2=49,\equiv{49}\quad 7^3=343,\equiv{43}\quad 7^4=2401\equiv{01}. $$ Por tanto la cifra de las unidades es $3$ para $7^{4k+3}$; en este caso la cifra de las decenas es $4$, ya que $7^{4k+3}\equiv{43}\mbox{(mod 100)}$.