Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $a$ y $b$ son primos relativos, entonces $M=ab$ y $D=1$, por tanto tenemos que probar las siguientes desigualdades, que son equivalentes entre sí: $$ \begin{array}{rl} 1+(ab)^2 &\geq{a^2+b^2},\quad 1+a^2b^2-a^2-b^2&\geq1,\quad (a^2-1)(b^2-1) &\geq1. \end{array} $$ Como esta última desigualdad es cierta, ya que $a,b>1$, lo son también las restantes. Para el caso general basta tener en cuenta que $a/D$ y $b/D$ son primos relativos, por tanto se tiene $$ 1+\left(\frac{a}{D}\;\frac{b}{D}\right)^2\geq\left(\frac{a}{D}\right)^2+\left(\frac{b}{D}\right)^2, $$ y multiplicando por $D^2$, que es mayor que 1, se tiene: $$ D^2+M^2\geq{a^2+b^2}. $$

Solución. Para cada índice $i$ consideramos la sucesión de términos consecutivos más larga comenzando en $a_i$, de forma que cada término divide al siguiente; sea $a_i,a_{i+1},...,a_{i+t}$, se verifica $a_j|{a_{j+1}}$ para $j=i,i+1,...,i+t-1$, y $a_{i+t}$ no divide a ${a_{i+t+1}}$. Asignamos a $i$ el número $n_i=t+1$, que es el número de términos de esta sucesión. Si para algún índice $i$ se tiene que $n_i>n$, tenemos el caso (2). Si por el contrario, se tiene $n_i\leq{n}$ para cada índice $i$, existe un $s(i)$ verificando $i<{s(i)}\leq{i+n}$ y $a_i$ no divide a ${a_{s(i)}}$. Podemos construir la sucesión $a_1,a_{s(1)},a_{s^2(1)},...$ Se tiene $s(1)\leq{1+n}$, $s^2(1)\leq{s(1)+n}\leq{1+2n}$, e inductivamente $s^r(1)\leq{1+rn}$. En particular, $s^m(1)\leq{1+mn}$, y podemos construir una sucesión ${a_{s^r(1)}}_{r=0}^m$ verificando la condición en (1).