Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

Tenemos que $a$ y $b$ no son nulos y que $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ es siempre positivo y comprendido entre 0 y 2, por lo que tenemos sólo dos posibles valores para $c$: 1 ó 2.

Como $c\neq0$, podemos modificar la expresión $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=c$ a la siguiente: $\frac{1}{ca^2}+\frac{1}{cb^2}=1$, y de aquí se tiene $(ca^2-1)(cb^2-1)=1$, por tanto $ca^2-1=cb^2-1=1$, de donde se tiene $ca^2=cb^2=2$.

Si $c=2$, entonces tenemos que resolver $a^2+b^2=1$, cuyas soluciones enteras son: $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$ y $(-1,-1)$.

Si $c=1$, entonces tenemos que resolver $a^2+b^2=\frac{1}{2}$, que no tiene soluciones enteras.

Las ternas solución son: $(1,1,2)$, $(1,-1,2)$, $(-1,1,2)$ y $(-1,-1,2)$.

Solución.

Primero observamos que si $m=1$ ó $n=1$, entonces no se verifica la condición, ya que el miembro de la izquierda tiene un sumando igual a 1. Tenemos entonces que $m,n\geq2$.

Si $n=2$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{4+1}{4m}=\frac{1}{4}$, de donde $m=5$. Un par es: $(5,2)$.

Si $n=3$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{9+1}{9m}=\frac{5}{12}$, y por tanto $m$ no sería entero.

Si $n=4$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16m}=\frac{3}{4}$, esto es, $\frac{16+1}{16m}=\frac{2}{4}$, y por tanto $m$ no sería entero.

Si $n\geq5$, como $m\geq2$, tenemos: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}\geq\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{50}=\frac{18}{25}>\frac{3}{4}$. No existe solución si $n\geq5$.

Solución. Veamos los tamaños de $n$ y de $s+u^2$. \par Si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $10^{k-1}\leq{n}<10^k$, y $s+u^2\leq{9k+9^2}$. En el caso en el que $9k+9^2<10^{k-1}$ no podrá haber números $n$ de $k$ cifras verificando la condición. Observa que se tiene: \[ \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline \;\;\;{k}\;\;\;&\;\;\;{9k+9^2}\;\;\;&\;\;\;\textrm{¿?}\;\;\;&\;\;\;{10^{k-1}}\;\;\;\\\hline\hline 1 &9+81=90 &\geq &1\\\hline 2 &18+81=99 &\geq &10\\\hline 3 &27+81=108 &\geq &100\\\hline 4 &36+81=117 &< &1000\\\hline \end{array} \] Por tanto $n$ es un número con 1, 2 ó 3 cifras. \par Sea $k=1$, entonces $s+u^2=n+n^2=n(1+n)$; si es igual a $n$, se tendría $1+n=1$, y por tanto $n=0$, lo que es imposible ya que $n$ es un entero positivo. \par Sea $k=3$, entonces $s+u^2\leq(9k+9^2)=108$; los únicos entonces posibles serían $n=100$, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, y ninguno de ellos verifica la condición. \par Sea $k=2$, supongamos que las cifras de $n$ son $a,b$, entonces se verifica: $10a+b=(a+b)+b^2$, esto es, $9a=b^2$. Por tanto $3\mid{b}$, sea $b=3c$, se tiene $a=c^2$, de donde $c=1,2$ ó 3, y por tanto tenemos los siguientes posibles valores para $n$: \[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline \;\;\;{c}\;\;\;&\;\;\;{a}\;\;\;&\;\;\;{b}\;\;\;&\;\;\;{n}\;\;\;&\;\;\;\textrm{¿?}\;\;\;\\\hline\hline 1 &1 &3 &13 &\textrm{válido}\\\hline 2 &4 &6 &46 &\textrm{válido}\\\hline 3 &9 &9 &99 &\textrm{válido}\\\hline \end{array} \] Los enteros positivos que verifican la condición son: 13, 46 y 99.

Solución. Observa que módulo $100$ se tiene: $$ 7^0=1\equiv{01},\quad 7^1=7,\equiv{07}\quad 7^2=49,\equiv{49}\quad 7^3=343,\equiv{43}\quad 7^4=2401\equiv{01}. $$ Por tanto la cifra de las unidades es $3$ para $7^{4k+3}$; en este caso la cifra de las decenas es $4$, ya que $7^{4k+3}\equiv{43}\mbox{(mod 100)}$.

Solución. Supongamos que $a$ y $b$ son primos relativos, entonces $M=ab$ y $D=1$, por tanto tenemos que probar las siguientes desigualdades, que son equivalentes entre sí: $$ \begin{array}{rl} 1+(ab)^2 &\geq{a^2+b^2},\quad 1+a^2b^2-a^2-b^2&\geq1,\quad (a^2-1)(b^2-1) &\geq1. \end{array} $$ Como esta última desigualdad es cierta, ya que $a,b>1$, lo son también las restantes. Para el caso general basta tener en cuenta que $a/D$ y $b/D$ son primos relativos, por tanto se tiene $$ 1+\left(\frac{a}{D}\;\frac{b}{D}\right)^2\geq\left(\frac{a}{D}\right)^2+\left(\frac{b}{D}\right)^2, $$ y multiplicando por $D^2$, que es mayor que 1, se tiene: $$ D^2+M^2\geq{a^2+b^2}. $$