Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si consideramos $\mathbb{F}_p$, entonces $F$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{F}_p$, y por tanto, como espacio vectorial es isomorfo a un $\mathbb{F}_p^n$, para algún $n\in\mathbb{N}$, y tiene $p^n$ elementos.

Solución.

Ambos elementos $\alpha+5$ y $\alpha^2$ pertenecen al cuerpo $\mathbb{Q}[\alpha]$ que es una extensión finita de $\mathbb{Q}$. Luego son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$.

Es claro que si $\alpha+5$ es algebraico sobre $K$, entonces $\alpha$ lo es. Si $\alpha+5$ es raíz del polinomio $p(X)\in{K}[X]$, entonces $\alpha$ es raíz del polinomio $p(X+5)$.

De la misma forma, si $\alpha^2$ es raíz del polinomio $p(X)\in{K}[X]$, entonces $\alpha$ es raíz del polinomio $p(X^2)$; luego si $\alpha^2$ es algebraico sobre $K$, también $\alpha$ lo es.

Solución.

Formamos el polinomio $g(X)=f(X-1)=X^3-3X^2+ 6X-3\in\mathbb{Q}[X]$. Es irreducible por el criterio de Eisenstein, luego también lo es $f$.

El primer cálculo consiste en desarrollar el producto y reducir los exponentes utilizando la igualdad $\alpha^3=-3\alpha-1$:

\[ (1+\alpha)(1+\alpha+\alpha^2)=1+2\alpha+2\alpha^2+\alpha^3= -\alpha+2\alpha^2. \] Para efectuar el segundo cálculo debemos calcular el inverso de $1+\alpha+\alpha^2$. Para ello utilizamos el algoritmo de Euclides para expresar el $1=\textrm{mcd}(X^2+X+1,X^3+3X+1)$ como combinación lineal de ambos polinomios: \[ 1= \frac{3X^2-2X+8}{7}(X^2+X+1)-\frac{3X+1}{7}(X^3+3X+1). \] Sustituyendo $X=\alpha$ obtenemos $1=(3\alpha^2-2\alpha+8)(\alpha^2+\alpha+1)/7$. Luego $(1+\alpha+\alpha^2)^{-1}=(8-2\alpha+3\alpha^2)/7$. El cálculo final consiste en desarrollar y reducir: \[ \frac{1+\alpha}{1+\alpha +\alpha ^2}=\frac{(1+\alpha)(8-2\alpha+3\alpha^2)}{7}= \frac{1}{7}(8+6\alpha+\alpha^2+3\alpha^3)=\frac{1}{7}(5-3\alpha+\alpha^2). \]