Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Para cada índice $i$ consideramos la sucesión de términos consecutivos más larga comenzando en $a_i$, de forma que cada término divide al siguiente; sea $a_i,a_{i+1},...,a_{i+t}$, se verifica $a_j|{a_{j+1}}$ para $j=i,i+1,...,i+t-1$, y $a_{i+t}$ no divide a ${a_{i+t+1}}$. Asignamos a $i$ el número $n_i=t+1$, que es el número de términos de esta sucesión. Si para algún índice $i$ se tiene que $n_i>n$, tenemos el caso (2). Si por el contrario, se tiene $n_i\leq{n}$ para cada índice $i$, existe un $s(i)$ verificando $i<{s(i)}\leq{i+n}$ y $a_i$ no divide a ${a_{s(i)}}$. Podemos construir la sucesión $a_1,a_{s(1)},a_{s^2(1)},...$ Se tiene $s(1)\leq{1+n}$, $s^2(1)\leq{s(1)+n}\leq{1+2n}$, e inductivamente $s^r(1)\leq{1+rn}$. En particular, $s^m(1)\leq{1+mn}$, y podemos construir una sucesión ${a_{s^r(1)}}_{r=0}^m$ verificando la condición en (1).