La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 25★★★☆☆
Dado $n\in\mathbb{N}$, denotamos por $S(n)$ la suma de los dígitos del número $n$ en base 10. Demostrar que $S(2n)\leq 2S(n)\leq 10S(2n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y analizar para qué números se alcanza la igualdad en cada una de las desigualdades.
Pista. ¿Cómo pueden expresarse $S(n)$ y $S(2n)$ en términos de los dígitos de $n$?
PistaSolución 1Solución. Denotemos por $a_k$ el número de veces que un número $k\in\{1,\ldots,9\}$ aparece en la expresión decimal del número $n$. Es fácil ver entonces que
\begin{eqnarray*}
S(n)&=&a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5+6a_6+7a_7+8a_8+9a_9{,}\\
S(2n)&=&2a_1+4a_2+6a_3+8a_4+a_5+3a_6+5a_7+7a_8+9a_9{.}
\end{eqnarray*}
De aquí es obvio que $S(n)\leq 5S(2n)$ y la igualdad se alcanza si, y sólo si, el número $n$ está formado sólo por ceros y cincos. También es evidente que $S(2n)\leq 2S(n)$ y la igualdad se alcanza si, y sólo si, todas las cifras del número $n$ son menores o iguales que cuatro.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 24★★★☆☆
Escogemos $n+1$ números distintos desde el $1$ al $2n$. Demostrar que entre esos números siempre hay dos que son primos entre sí. ¿Es cierto el resultado si sólo tomamos $n$ números?
Pista. Utilizar el principio de palomar dividiendo los $2n$ números en $n$ parejas (al escoger $n+1$ números tendremos que escoger forzosamente los dos números de una de las parejas).
PistaSolución 1Solución. Dividamos los $2n$ números en $n$ parejas, como $\{1,2\}$, $\{3,4\}$, $\{5,6\}$, ...,$\{2n-1,2n\}$. El principio del palomar nos asegura que si tomamos $n+1$ números, siempre tomamos los dos de alguna de las parejas, pero cada pareja está formada por números consecutivos y, por tanto, primos entre sí. Esto prueba que siempre hay dos de los números que son primos entre sí.
Por el contrario, si sólo tomamos $n$ números, podríamos escoger todos los números pares entre $1$ y $2n$, y no hay dos números pares primos entre sí, luego el resultado no es en general cierto si sólo tomamos $n$ números.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 23★★☆☆☆
Consideremos un tablero $6\times 6$ que se ha rellenado con fichas de dominó de tamaño $2\times 1$.
- Demostrar que cualquier eje vertical u horizontal de la cuadrícula atraviesa a un número par de fichas.
- Demostrar que al menos uno de esos ejes no atraviesa a ninguna ficha.
Pista. ¿Qué pasaría si uno de estos ejes atravesara a un número impar de fichas?
PistaSolución 1Solución. Supongamos que un determinado eje cortara a un número impar de fichas. Entonces, quitando esas fichas, a cada lado del eje queda un número impar de casillas que cubrir con fichas $2\times 1$, lo cual es imposible. Esto prueba que todo eje atraviesa a un número par de fichas.
Para probar (b), razonemos también por reducción al absurdo suponiendo que cada uno de los 10 ejes atraviesa a alguna ficha. Como cada eje atraviesa un número par de fichas y cada ficha es cortada por un solo eje, tendría que haber, al menos, 20 fichas distintas. Esto es imposible ya que sólo tenemos 18 fichas en todo el tablero.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 22★★☆☆☆
En un tablero de ajedrez colocamos $24$ fichas ocupando las $3$ filas superiores. Podemos cambiar la posición de las fichas haciendo saltar una por encima de otra a un hueco libre en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonal). ¿Se puede conseguir así llevar las $24$ fichas a las tres filas inferiores?
Pista. Responde primero a la siguiente pregunta: ¿puede una ficha concreta pasar de una fila a la siguiente después de haber efectuado una cierta cantidad de movimientos? ¿En qué filas puede acabar dicha ficha?
PistaSolución 1Solución. Numeramos las filas del $1$ al $8$ de abajo arriba. Es evidente que al hacer saltar una una ficha por encima de otra, si al principio estaba en una fila par, saltará a una fila par y, si al principio estaba en una impar, saltará a una impar. Por lo tanto, en cada movimiento, se conserva el número de fichas en casillas en filas pares y el número de fichas en filas impares. Al comienzo tenemos que hay 16 fichas en filas pares y 8 en filas impares y queremos llegar a una situación en la que hay 8 en filas pares y 16 en impares. Por tanto, es imposible conseguirlo.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 2004 problema 2
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 21★★☆☆☆
Consideremos los seis vértices de un hexágono regular y coloreemos los segmentos que determinan de dos colores. Demostrar que siempre podemos encontrar tres vértices de forma que los tres lados del triángulo que determinan tienen el mismo color.
Pista. Observa que de los segmentos que parten de un vértice hay siempre tres del mismo color por el principio del palomar.
PistaSolución 1Solución. Consideremos un vértice cualquiera del hexágono. De los cinco segmentos que determinan, tiene que haber al menos tres que compartan un mismo color. Ahora bien, si alguno de los segmentos que determinan estos tres tiene el mismo color, entonces obviamente tenemos un triángulo del mismo color. En caso contrario, los tres segmentos que determinan estos tres vértices serán del color opuesto y también tendremos que dicho triángulo tiene los lados del mismo color.
Informar InfoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problema