La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 10★★☆☆☆
Tenemos cien números en progresión aritmética de los cuales sabemos que su suma es $52$ y que la suma de los términos pares es $1$. Calcular la suma de los cuadrados de los cien números.
Pista. Escribe los términos como $a_k=a_1+(k-1)d$ y calcula $a_1$ y $d$ con los datos del enunciado. Después calcula la suma de los cuadrados.
PistaSolución 1Solución. Si denotamos por $\{a_1,\ldots,a_{100}\}$ a los términos de la sucesión, entonces podemos escribir $a_k=a_1+(k-1)d$ donde $d$ es la diferencia de la progresión aritmética. Las condición sobre la suma de los términos se traduce en $100a_1+4950d=52$ y la condición sobre suma de los términos pares se traduce en $50a_1+2500d=1$. De estas dos ecuaciones se deduce que $d=-1$ y $a_1=\frac{2501}{50}$.
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Para cada número natural $n$, consideremos $a_n$ el número cuya expresión decimal está formada por $n$ sietes (es decir, $a_1=7$, $a_2=77$, $a_3=777$, etc.). Hallar el valor de la suma
\[a_1+a_2+\ldots+a_n{.}\]
Pista. Escribir convenientemente la suma y utilizar la fórmula de los términos de una progresión geométrica.
PistaSolución 1Solución. Observemos que podemos escribir $a_n=\frac{7}{9}(10^n-1)$ luego, sacando factor común $\frac{7}{9}$, la suma buscada vale
\[S_n=\frac{7}{9}(10+10^2+\ldots+10^n-n)=\frac{7}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10}{10-1}-n\right)=\frac{7}{81}(10^{n+1}-9n-10)\]
donde se ha usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 1981 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 8★★☆☆☆
Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que verifican que
\[f((x-y)^2)=f(x)^2-2xf(y)+y^2\]
para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.
Pista. Transforma la ecuación tomando la función auxiliar $g(x)=f(x)-x$.
PistaSolución 1Solución. Haciendo $x=y$, tenemos que $2xf(x)=f(x^2)+x^2-f(0)$ y, como el miembro de la derecha es par, el de la izquierda también debe serlo, de donde deducimos que $f$ es impar. Si consideramos la función impar $g(x)=f(x)-x$ y sustituimos $f(x)=g(x)+x$ en la ecuación original, llegamos a que $g$ cumple la ecuación funcional $g((x-y)^2)=g(x)^2+2xg(x)-2xg(y)$. Haciendo $x=0$ en esta última ecuación, tenemos que $g(y^2)=g(0)^2$ para todo $y\in\mathbb{R}$, es decir, $g$ es constante en el intervalo $[0,\infty)$ y, como es impar, es constante en todo $\mathbb{R}$, pongamos $g(x)=a$ para cierto $a\in\mathbb{R}$ y, en sustituyendo en la ecuación funcional de $g$, se cumple que $a=a^2$ luego $a=0$ ó $a=1$. Deshaciendo ahora el cambio de función, las únicas posibles soluciones para $f$ son $f(x)=x$ y $f(x)=x+1$ y es fácil comprobar que ambas cumplen la ecuación del enunciado.
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Informar de procedencia del problemaProblema 7★★★☆☆
Hallar todas las funciones \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\) que verifiquen
\[f(x+f(y))=f(x)-y\]
para cualesquiera números enteros \(x,y\in\mathbb{Z}\).
Pista. Demuestra que \(f\) es sobreyectiva.
PistaSolución 1Solución. La función \(f\) es sobreyectiva ya que en la ecuación funcional el miembro de la derecha toma todos los valores enteros al mover \(x\) e \(y\). Por tanto, existe \(y_0\) tal que \(f(y_0)=0\) y, sustituyendo \(y=y_0\) en la ecuación, tenemos que \(y_0=0\), de donde \(f(0)=0\). Haciendo ahora \(x=0\) en la ecuación, se tiene que \(f(f(y))=-y\), lo que prueba que \(f\) es inyectiva ya que si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces \(-a=f(f(a))=f(f(b))=-b\) y \(a=b\). Dado \(a\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(a)=1\) y sustituyendo \(y=a\) en la ecuación original, tenemos que \(f(x+1)=f(x)-a\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\), de donde se deduce que \(f(x)=f(0)-ax=-ax\) y, por tanto, \(a=\pm 1\) ya que si \(a\neq\pm1\), entonces \(f\) no sería inyectiva. En consecuencia, las únicas posibilidades para \(f\) son \(f(x)=x\) y \(f(x)=-x\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\). Como ninguna de estas dos funciones cumple la ecuación del enunciado, deducimos que no existen tales funciones.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 2004 problema 3
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Informar de procedencia del problemaProblema 6★★★☆☆
Demostrar que si una función \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\) cumple que
\[f(m^2+f(n))=f(m)^2+n\]
para cualesquiera \(m,n\in\mathbb{Z}\), entonces \(f(n)=n\) para todo \(n\in\mathbb{Z}\).
Pista. Demuestra que \(f\) es sobreyectiva.
PistaSolución 1Solución. La ecuación funcional nos dice que \(f\) tiene que ser sobreyectiva ya que el miembro de la derecha toma cualquier valor entero al variar \(m,n\in\mathbb{Z}\). Tomando \(n_0\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(n_0)=0\) y sustituyendo \(n=n_0\), tenemos que \(n_0=0\) y, por tanto, \(f(0)=0\). Así es claro que \(f(m^2)=f(m)^2\) para todo \(m\in\mathbb{Z}\) y, en particular (para \(m=1\)) tenemos que \(f(1)=f(1)^2\) luego \(f(1)=0\) ó \(f(1)=1\). La primera opción no es posible ya que hemos probado que el único entero que tiene imagen cero es el propio cero, luego \(f(1)=1\). Tomando en la ecuación original \(m=1\), se sigue que \(f(f(n)+1)=f(n)+1\) luego \(f(2)=f(f(1)+1)=f(1)+1=2\), \(f(3)=f(f(2)+1)=f(2)+1=3\) y, reiterando el proceso, se prueba que \(f(n)=n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Para ver que esto también es válido para los negativos, observemos que \(f(m)^2=f(m^2)=f(-m)^2\) luego \(f(-m)=\pm f(m)\) y, si probamos que \(f\) es inyectiva, tendríamos que \(f(-m)=-f(m)\) y habremos terminado. Para ver que es inyectiva, haciendo \(m=0\) en la ecuación original, \(f(f(n)))=n\) luego si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), tendremos que \(f(f(a))=f(f(b))\) y \(a=b\).
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