Es habitual ver que tras el examen, los resultados obtenidos no son los esperados. A veces, poner remedio a posteriori es difícil; quizás sea mejor tener a mano unos cuantos consejos antes de empezar. Leer estas líneas al principio de la asignatura, y volver a releerlas a lo largo del curso, puede ser una ayuda mayor de lo que piensas.
En general, estudiáis bien la teoría: fórmulas, conceptos principales y los «problemas tipo». Pero fuera de esos razonamientos estándar, las cosas cambian: muchas veces hay que inventar un razonamiento nuevo, y ahí vienen los fallos, a veces escribís enunciados completamente sin sentido. Esto ocurre incluso aunque en vuestra mente tengáis una idea buena: es necesario tener rigor a la hora de expresarla. También suelen verse fallos en aspectos completamente de base; por poner unos ejemplos:
- Cometer fallos con los cuantificadores, o con la lógica básica. Si se quiere probar por reducción al absurdo que una expresión \(f(t)\) no tiene ceros, entonces no puede suponerse que \(f(t)\) vale cero PARA TODO \(t\).
- No nos paramos a analizar los enunciados. Por ejemplo: si se pide «probar que la aplicación de Gauss de \(S\) es un difeomorfismo de \(S\) en \(S’\) «, entonces no se está pidiendo que encontréis ALGUN difeomorfismo entre \(S\) y \(S’\): la aplicación que ha de servirnos de difeomorfismo ha de ser la aplicación de Gauss de la primera superficie.
- No saber qué es una aplicación inyectiva o sobreyectiva. Inyectiva no es «que a cada punto le corresponde una imagen», ni sobreyectiva es «que a cada punto de la imagen le corresponde una única preimagen». Parece obvio, pero éste es uno de los fallos más comunes.
- Escribir cosas sin sentido. Por ejemplo, no se pueden dividir vectores entre vectores, o la expresión \(\sqrt{r^2+(r’)^2}=r+r’\) no es cierta, o no existe el producto vectorial en \(\mathbb{R}^2\).
- Contar «historias». Esto es muy común: poner varias líneas de razonamiento, algunas veces con sentido pero que no tienen nada que ver con la conclusión, y al final, mágicamente, escribir como conclusión que la propiedad que se preguntaba en el enunciado es cierta. Es completamente ingenuo, por no decir algo peor, pensar que enrollarse es mejor que no poner nada: las matemáticas se basan en la lógica, no en contar historias.
- No saber derivar una expresión. Un objetivo básico de la asignatura es saber derivar expresiones como \(f(p)=|p|^2-\langle p,a\rangle ^2\), donde \(p\) se mueve en una superficie.
Creo que con lo anterior es suficiente para que tengáis una idea de qué tipo de cosas hay que evitar. Y una forma de evitarlas es que cada uno os planteéis las siguientes preguntas:
- ¿He hecho problemas por mi cuenta? ¿Cuántos de esos problemas he resuelto sin ayuda?
- ¿Cuántos textos o material adicional (internet) he usado para preparar el examen, además de lo de clase?
- ¿Cuántas veces he preguntado en clase, o en tutorías, o por correo electrónico?
Además de lo anterior, os dejo algunos otros consejos sobre cómo desarrollar las clases y el trabajo de cada uno.
- La teoría debe explicarse en clase, pero entre todos debemos hacer la clase lo más participativa posible: evitar que el profesor se limite a explicar y los alumnos a copiar (clase magistral): de hecho, tenéis la teoría disponible en internet luego no hace falta copiar, todo lo más apuntar alguna cosa/comentario sobre los apuntes en pdf que hayáis descargado de la web de la asignatura. Pero preguntar si algo no ha quedado claro.
- Lo mejor es hacer los problemas de forma individual, y pelearse con ellos durante el tiempo que sea necesario: a veces uno no sabe por dónde empezar; en ese caso, comenzad por preguntar a compañeros por ese problema, quizás os den una idea.
- Usar más los medios de que disponéis para consultar dudas: salvo contadas excepciones, no suelen usarse las tutorías (¡ a lo largo del curso, no dos días antes del examen !), ni el correo electrónico. Estos medios son los adecuados para resolver ese problema que se encalla tras preguntar a los compañeros, o para saber si ese problema que hemos hecho está bien o no.
- Debéis asimilar que no es suficiente con estudiar el material de clase. El material de clase es lo primero a entender, y normalmente da para aprobar «por los pelos». Pero uno se da cuenta de si domina una asignatura enfrentándose a problemas que no están resueltos, y comprobando si los puede resolver. Muchas veces, eso conlleva buscar en libros de la bibliografía, hacer exámenes anteriores, etc.